第十章复数
10.3 复数的三角形式及其运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.12(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)=( )
A.322+322i B.322?322i
C.-322+322i D.-322?322i
解析12(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)
=12×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]
=3(cos 135°+isin 135°)
=3-22+22i
=-322+322i.
故选C.
答案C
2.cosπ2+isinπ2×3cosπ6+isinπ6=( )
A.32+332i B.32?332i
C.-32+332i D.-32?332i
解析cosπ2+isinπ2×3cosπ6+isinπ6
=3cosπ2+π6+isinπ2+π6
=3cos2π3+isin2π3
=-32+332i.
故选C.
答案C
3.4(cos π+isin π)÷2cosπ3+isinπ3=( )
A.1+3i B.1-3i
C.-1+3i D.-1-3i
解析4(cos π+isin π)÷2cosπ3+isinπ3
=2cosπ-π3+isinπ-π3
=2cos2π3+isin2π3
=-1+3i.
故选C.
答案C
4.2÷[2(cos 60°+isin 60°)]=( )
A.12+32i B.12?32i
C.32+12i D.32?12i
解析2÷2[(cos 60°+isin 60°)]
=2(cos 0°+isin 0°)÷[2(cos 60°+isin 60°)]
=cos(0°-60°)+isin(0°-60°)
=cos(-60°)+isin(-60°)
=12?32i.
故选B.
答案B
5.9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)]=( )
A.3 B.-3
C.3i D.-3i
解析9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)]
=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]
=3(cos π+isin π)
=-3.
故选B.
答案B
6.复数z=(sin 25°+icos 25°)3的三角形式是( )
A.cos 195°+isin 195°
B.sin 75°+icos 75°
C.cos 15°+isin 15°
D.cos 75°+isin 75°
解析z=(sin 25°+icos 25°)3
=(cos 65°+isin 65°)3
=cos 195°+isin 195°.
故选A.
答案A
7.复数z=(cos 40°+isin 40°)6的结果是( )
A.12+32i B.12?32i
C.-12+32i D.-12?32i
解析z=(cos 40°+isin 40°)6
=cos 240°+isin 240°
=-12?32i.
故选D.
答案D
8.2(cos 15°+isin 15°)×532+12i= .?
解析2(cos 15°+isin 15°)×532+12i
=2(cos 15°+isin 15°)×5(cos 30°+isin 30°)
=10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]
=10(cos 45°+isin 45°)
=1022+22i
=52+52i.
答案52+52i
9.12(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)= .?
解析12(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)
=12(cos 60°+isin 60°)×6(cos 30°+isin 30°)
=3[cos(60°+30°)+isin(60°+30°)]
=3(cos 90°+isin 90°)
=3i.
答案3i
10.2(cos 210°+isin 210°)×5(-sin 30°+isin 60°)= .?
解析2(cos 210°+isin 210°)×5(-sin 30°+isin 60°)
=10(cos 210°+isin 210°)×(cos 120°+isin 120°)
=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]
=10(cos 330°+isin 330°)
=1032-12i
=53-5i.
答案53-5i
11.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.
解所得向量对应的复数为
(-2+2i)×(cos 75°+isin 75°)
=22(cos 135°+isin 135°)×(cos 75°+isin 75°)
=22[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]
=22(cos 210°+isin 210°)
=22-32-12i
=-6?2i.
能力提升
1.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于( )
A.3 B.-33
C.-1 D.1
解析复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,
所以tan α=12,tan β=13,
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1.
故选D.
答案D
2.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 ( )
A.32±12i B.-32±12i
C.±32+12i D.±32?12i
解析-i=cos3π2+isin3π2
∴-i的立方根为cos3π2+2kπ3+isin3π2+2kπ3(其中,k=0,1,2).
当k=0时,得cosπ2+isinπ2=i.
当k=1时,得cos7π6+isin7π6=-32?12i.
当k=2时,得cos11π6+isin11π6=32?12i.
故选D.
答案D
3.把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM且模相等,已知z2=-1-3i,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是( )
A.-2+2i,3π4
B.-2?2i,3π4
C.-2+2i,π4
D.-2?2i,π4
解析由复数乘法的几何意义得,
z1cosπ4+isinπ4
=z2cos5π3+isin5π3.
又z2=-1-3i=2cos4π3+isin4π3,
∴z1=2cos4π3+isin4π3cos5π3+isin5π3cosπ4+isinπ4
=2cos3π-π4+isin3π-π4
=-2+2i,
z1的辐角主值为3π4.
故选A.
答案A
4.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+3i)10=( )
A.1 024-1043i B.-1 024+1 0243i
C.512-5123i D.-512+5123i
解析根据复数乘方公式:
zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),得
(-1+3i)10=210cos10×2π3+isin10×2π3
=1 024cos20π3+isin20π3
=1 024-12+32i
=-512+5123i.
故选D.
答案D
5.设复数z=cos23π+isin23π,则11-z+11-z2=( )
A.0 B.33i
C.12 D.32
解析11-z+11-z2
=11-z+zzzz-z2
=11-z+zz-z
=11-cos23π-isin23π+cos23π-isin23π-2isin23π
=12sin2π3-i·2sinπ3cosπ3-
cos-23π+isin-23π3cos-π2+isin-π2
=cos0+isin02sinπ3cos-π6+isin-π6-
13cos-16π+isin-16π
=13cosπ6+isinπ6-32+12i
=33i.
故选B.
答案B
6.设32+x2i2 008=f(x)+ig(x)[f(x),g(x)均为实系数多项式],则f(x)的系数之和是( )
A.-32 B.32 C.-12 D.12
解析取x=1,则
32+x2i2 008=f(x)+ig(x)
?cosπ6+isinπ62 008=f(1)+ig(1)
?cosπ6+isinπ64=f(1)+ig(1)
?cos2π3+isin2π3=f(1)+ig(1)=-12+32i.
故选C.
答案C
7.6÷[3(cos 135°+isin 135°)]= .?
解析6÷3[(cos 135°+isin 135°)]
=6(cos 0°+isin 0°)÷[3(cos 135°+isin 135°)]
=2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)]
=4[cos(-135°)+isin(-135°)]
=-22-22i.
答案-22-22i
8.已知复数z=cos2π3+isin2π3,则z3+z2z2+z+2= .?
解析根据题意,有
z3+z2z2+z+2=1+z2=-z=12?32i.
答案12?32i
9.复数z=16(cos 40°+isin 40°)的四次方根分别是 .?
解析z=16(cos 40°+isin 40°)的四次方根分别是
416cos40°+k·360°4+isin40°+k·360°4
(k=0,1,2,3),
当k=0时,2(cos 10°+isin 10°);
当k=1时,2(cos 100°+isin 100°);
当k=2时,2(cos 190°+isin 190°);
当k=3时,2(cos 280°+isin 280°).
答案2(cos 10°+isin 10°),2(cos 100°+isin 100°),2(cos 190°+isin 190°),2(cos 280°+isin 280°)
10.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1·z22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.
解因为z1=2cosπ6+isinπ6,
设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),
所以z1z22=8cos2α+π6+isin2α+π6.
由题设知2α+π6=2kπ+3π2(k∈Z),
所以α=kπ+2π3(k∈Z).
又α∈(0,π),所以α=2π3.
所以z2=2cos2π3+isin2π3=-1+3i.
11.已知复数z=32?12i,ω=22+22i,复数zω,z2ω3在复平面上所对应的点分别为P,Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).
证明z=32?12i=cos-π6+isin-π6
ω=22+22i=cosπ4+isinπ4,
∴zω=cos-π6+π4+isin-π6+π4
=cosπ12+isinπ12,
∴zω=cos-π12+isin-π12.
又z2ω3=
cos-π3+isin-π3cos3π4+isin3π4
=cos5π12+isin5π12,
因此OP,OQ的夹角为5π12?-π12=π2.
∵OP⊥OQ,
又∵|OP|=|z|=1,|OQ|=|z2|=1,
∴|OP|=|OQ|,
∴△OPQ为等腰直角三角形.
课件41张PPT。10.3 复数的三角形式及其运算一、复数的三角形式
1.思考提示:有,三角表示. 提示: a=rcos θ,b=rsin θ. 所以z=a+bi=rcos θ+(rsin θ)i=r(cos θ+isin θ). 一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是复数z的辐角.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角形式,为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数形式.
规定在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值,记作arg z,即0≤arg z<2π.3.做一做
(1)写出下列复数的辐角主值:答案:BCD 其中,是三角形式的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中,不满足模r≥0;②中,满足复数三角形式的特征;③中,不满足同一个角θ;④中,不满足i与sin θ相乘;⑤中,不满足cos θ与isin θ之间用加号连结.综上可知,只有②是复数的三角形式.故选A.
答案:A二、复数的三角形式与代数形式的互化
1.思考
(1)把一个复数表示成三角形式时,辐角θ一定要取主值吗?(2)每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗?
提示: 不一定,复数0的辐角主值有无数个,每一个不等于零的复数才有唯一的模与辐角主值.2.填空
(1)复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcos θ,b=rsin θ)即可.
(2)复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤是:③写出复数的三角形式. (3)每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等,即3.做一做
(1)两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的( )条件.
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
解析:当两个复数z1,z2的模与辐角分别相等时,一定可以推出z1=z2,充分性成立;但当z1=z2时,不一定非要z1,z2的辐角相等,它们可以相差2π的整数倍,故必要性不成立,综上,两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的充分不必要条件.故选A.
答案:A三、复数三角形式的乘法及运算律
1.思考
(1)使用复数的三角形式进行运算的条件是什么,辐角要求一定是主值吗?
提示:使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式,辐角不要求一定是主值.
(2)两个复数的积仍然是一个复数吗?任意多个复数的积呢?
提示: 两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.2.(1)复数乘法运算的三角表示
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),
则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.简单的说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,幅角相加.
(2)复数乘法运算的几何意义(3)复数的三角形式乘法法则有如下推论
①有限个复数相乘,结论亦成立,即
z1z2…zn=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)…rn(cos θn+isin θn)
=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]
②当z1=z2=…=zn=z,
即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,
zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].
这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,幅角n倍.
③在复数三角形式的乘方法则中,
当r=1时,则有(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ.
这个公式叫做棣莫佛公式.3.做一做
计算下列各式,并把结果化为代数形式.四、复数三角形式的除法
1.思考
(1)如果非零复数z=r(cos θ+isin θ),那么, 的三角形式是什么?(2)两个复数的商仍然是一个复数吗?
提示: 两个复数的商仍然是一个复数.这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简单的说,两个复数三角形式相除的法则为:模相除,幅角相减.
(2)复数除法运算的几何意义2.(1)复数三角形式的除法运算
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),3.做一做
(1)计算下列各式: 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测复数的模与辐角 答案:A 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测复数的三角形式与代数形式的互化
例2将下列复数代数形式化为三角形式:探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测复数乘、除运算的综合应用 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测反思感悟在计算复数的模和辐角时,最容易出错的是辐角θ的范围的确定.本题中由ω=1+(a-1)i的虚部a-1在[-1,1]内可知-1≤tan θ≤1,由ω的实部是1,可知ω的辐角θ的终边在第一、四象限或y轴的正半轴上.又θ的主值在[0,2π)中,可得θ的取值范围.探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测复数代数形式与三角形式转化出错
典例下列复数的形式是否是三角形式,若不是,化为三角形式:
(1)z1=-2(cos θ+isin θ);
(2)z2=cos θ-isin θ;
(3)z3=-sin θ+icos θ;
(4)z4=-sin θ-icos θ;
(5)z5=cos 60°+isin 30°.正解:(1)由“模非负”知不是三角形式.
z1=2(-cos θ-isin θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)];
(2)由“加号连”知不是三角形式.
z2=cos θ-isin θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ).探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测防错有术1.复数的三角形式要符合z=r(cos θ+isin θ)(r>0).
2.如果不符合即利用诱导公式转化为三角形式.探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测答案:D 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测3.8i÷2(cos 45°+isin 45°)= .?
解析:8i÷2(cos 45°+isin 45°)
=8(cos 90°+isin 90°)÷2(cos 45°+isin 45°)
=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]
=4(cos 45°+isin 45°)探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测
