第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
课后篇巩固提升
基础巩固
1.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.
答案C
2.如图所示的正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是 ( )
A.6 cm B.8 cm
C.(2+32)cm D.(2+23)cm
解析直观图中,O'B'=2,OB=22.原图形中OC=AB=(22)2+12=3,OA=BC=1,∴原图形的周长是2×(3+1)=8.
答案B
3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是 ( )
A.AB B.AD C.BC D.AC
解析还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
答案D
4.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'等于( )
A.45° B.135° C.90° D.45°或135°
解析因为∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x'O'y'=45°或135°,即∠A'=45°或135°,故选D.
答案D
5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm
解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.故选D.
答案D
6.已知正三角形ABC的边长为a,那么正三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积是( )
A.34a2 B.38a2
C.68a2 D.616a2
解析如图①为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图②,建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,由直观图画法知:A'B'=AB=a,O'C'=12OC=34a,过C'作C'D'⊥O'x'于D',则C'D'=22O'C'=68a.所以△A'B'C'的面积是S=12·A'B'·C'D'=12·a·68a=616a2.
答案D
7.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为 .?
解析因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°,又因四边形A'B'C'D'为平行四边形,且AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.
答案正方形
8.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M',则点M'的坐标为 .?
解析在x'轴的正方向上取点M1,使O1M1=4,在y'轴上取点M2,使O'M2=2,过M1和M2分别作平行于y'轴和x'轴的直线,则交点就是M'.
答案(4,2)
9.如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为 .?
解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.
答案10
10.如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为 .?
解析在直观图中四边形A'B'C'O'是有一个角为45°且长边为2,短边为1的平行四边形,所以顶点B'到x'轴的距离为22.
答案22
11.观察如下图所示的物体,说出几何体的名称.
解球,正方体,长方体.
能力提升
1.利用斜二测画法得到:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是( )
A.① B.①②
C.③④ D.①②③④
解析根据画法规则,平行性保持不变,与y轴平行的线段长度减半.
答案B
2.下图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是乙图中的( )
图甲
图乙
解析按斜二测画法规则,平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的12,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,将图形还原成原图形知选C.
答案C
3.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.
答案C
4.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是 ( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=22.在原图形中,OD=42,CD=2,且OD⊥CD,所以OC=(42)2+22=6=OA,所以原图形是菱形.
答案C
5.如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',在直观图中梯形的高为 ,面积为 .?
解析因为OA=6,CB=2,所以OD=2.
又因为∠COD=45°,所以CD=2.梯形的直观图如图,
则C'D'=1.所以梯形的高C'E'=22.
面积为2+62×22=22.
答案22 22
6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,原平面图形的面积为 .?
解析过A作AE⊥BC,垂足为E.
又∵DC⊥BC且AD∥BC,∴ADCE是矩形,
∴EC=AD=1.
由∠ABC=45°,AB=AD=1知BE=22,
∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1+22,高为2,∴原平面图形的面积为12×(1+1+22)×2=2+22.
答案2+22
7.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为 .?
解析法一:过C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于M'.
过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于D',则C'D'=32a.
所以∠C'M'D'=45°,所以C'M'=62a.
所以原三角形的高CM=6a,底边长为a,其面积为S=12×a×6a=62a2.
法二:因为S△A'B'C'=12×a×32a=34a2.
由S直观图=24S原图得,
S△ABC=42S△A'B'C'=42×34a2=62a2.
答案62a2
8.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',如图,其中的对角线A'C'在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
解四边形ABCD的真实图形如图所示,
∵A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形,
∴∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,
∴在原四边形ABCD中,
DA⊥AC,AC⊥BC,
∵DA=2D'A'=2,AC=A'C'=2,
∴S四边形ABCD=AC·AD=22.
9.一个圆锥的底面直径是1.6 cm,在它的内部有一个底面直径为0.7 cm,高为1 cm的内接圆柱.
(1)画出它们的直观图;
(2)求圆锥的母线长.
解(1)①画轴.取x轴、y轴、z轴,记坐标原点为O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°(如图①所示).
②画底面.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于1.6 cm的圆的直观图.
③画内接圆柱.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于0.7 cm的圆的直观图,然后在z轴上取线段OO'=1 cm,过点O'作平行于x轴的x'轴,平行于y轴的y'轴,再以O'为中心,利用x'轴、y'轴画一个直径为0.7 cm的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切.
④成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图②所示).
(2)设圆锥的高为h,
则h-1h=0.71.6,
解之得h=169.
所以圆锥的母线长为
l=R2+h2=0.82+1692=448145.
课件34张PPT。11.1.1 空间几何体与斜二测画法一、空间几何体
1.思考
我们以前接触过的几何体有哪些?
提示:正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球.
2.填空3.做一做
(1)观察如下图所示的物体,将每个建筑物可抽象出的几何体画出来.提示: (2)观察如下图所示的物体,说出几何体的名称. 提示:球,圆柱 二、斜二测画法
1.思考
问题1:在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗?
提示:为了直观,不一定.
问题2:正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什么?
提示:平行四边形、椭圆形,为增加直观性.
问题3:这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗?
提示:不相同.2.填空
(1)立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的直观图.
(2)一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤如下:
建系→在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,使得它们正方向的夹角为45°或135°平行 不变→平面图形中平行或重合于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行或重合于x'轴或y'轴的线段长度 规则→平面图形中平行或重合于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行或重合于y轴的线段,长度为原来的一半
(3)一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下:
①在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴).
②在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴垂直于x'轴.
图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段,且长度不变.
连接有关线段.
③擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).3.做一做
(1)判断正误.
①相等的角,在直观图中仍相等. ( )
②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等. ( )
③若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直. ( )
解析:根据斜二测画法的意义及作图知,①②③均错.
答案:(1)①× ②× ③×(2)(多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y'轴,长度变为原来的
C.在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
解析:在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°,也可以是135°.C不正确.
答案:ABD(3)长方形的直观图可能为下图的哪一个( ) A.①② B.①②③ C.② D.③④
解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为②.
答案:C(4)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'= .?
解析:由斜二测画法,A'=45°或A'=135°.
答案:45°或135°探究一探究二探究三思维辨析当堂检测水平放置的平面图形的直观图
例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:画法:
(1)在图①中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.
(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'[如图③].探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形,请画出它的直观图.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:画法:
(1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O[如图①],画相应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°[如图②];(3)连接E'D',D'C',C'E',并擦去辅助线x'轴和y'轴,便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A'B'C'-D'E'[如图③].探究一探究二探究三思维辨析当堂检测空间几何体的直观图
例2用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
解:画法:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A、B、C、D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的
线段AA'、BB'、CC'、DD'.
(4)成图.顺次连接A'、B'、C'、D',
并加以整理(去掉辅助线,将被遮
挡的部分改为虚线),就得到正方
体的直观图(如图②).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z'轴与x'轴垂直.
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变.
(3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段,且线段长度画成原来的二分之一.
(4)平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)画轴.如下图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D'.
(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于三视图中相应的高度.
(4)成图.连接PA',PB',PC',PD',A'A,B'B,C'C,D'D,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如下图②.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测直观图的还原与计算
例3如图所示,水平放置的平面图形A'B'C'D'为某一平面图形的斜二测直观图,它是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,求原来的平面图形的面积.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如图所示,因为A'D'∥B'C',所以AD∥BC.
因为∠A'B'C'=45°,所以∠ABC=90°,
所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究1把例3中的条件改为:如图所示的直角梯形中,∠A'B'C'=45°,A'B'=A'D'=1,C'D'⊥B'C',求原平面图形的面积.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:在斜二测直观图中(如图①所示),作A'H⊥x轴交于H.
∵A'B'=A'D'=1,D'C'⊥B'C',∠A'B'C'=45°.从而在原平面图形ABCD中(如图②所示), 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究2已知正△ABC的边长为1,那么△ABC的平面斜二测直观图△A'B'C'的面积为 .?
解析:图①、②分别为实际图形和直观图.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状,作出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;如果由直观图求原图形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和高,进而求面积.直观图的面积是原图形面积探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解答平面图形直观图还原问题的易错点
典例一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA'B'C'的面积为 ,则原梯形的面积为( )探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:方法一:如图,由斜二测画法原理知,
原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.故选D. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D 易错防范1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC'的长度的2倍,OC'长度是直观图中梯形的高的 倍,此处易出错.
2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是 ( )
A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B.平行四边形的直观图仍是平行四边形
C.两条相交直线的直观图可能是平行直线
D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
解析:斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形,故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条直交直线的直观图仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线,故选项D错误。
答案:BA.模块①②⑤
B.模块①③⑤
C.模块②④⑤
D.模块③④⑤
解析:观察所给模块图形,可知选A.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.如图,模块①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为 ( )探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.如图,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是 .?答案:10 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.如图Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,直角边O'B'=1,则这个平面图形的面积是 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形. 解:画法:
(1)如图②,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A';
(2)在图①中,过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在图②中,在x轴上取OD=O'D',过D作DB∥y轴,并使DB=2D'B'.
(3)连接AB,BC,则△ABC即为△A'B'C'原来的图形,如图②.
