第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
课后篇巩固提升
1.过平面外一条直线作平面的平行平面( )
A.必定可以并且只可以作一个
B.至少可以作一个
C.至多可以作一个
D.一定不能作
解析因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时,不能作出符合题意的平面;当直线与平面平行时,可作出唯一的一个符合题意的平面.
答案C
2.“a,b是异面直线”是指:
①a∩b=?,且a,b不平行;②a?平面α,b?平面β,且a∩b=?;③a?平面α,b?平面β,且α∩β=?;④a?平面α,b?平面α;⑤不存在平面α,使a?α,且b?α成立.上述说法中( )
A.①④⑤正确 B.①③④正确
C.②④正确 D.①⑤正确
解析说法①等价于a与b既不相交,又不平行,所以a与b为异面直线.①正确;②③④中a、b可能平行,都不正确;说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内,即a,b异面,⑤正确.
答案D
3.(多选题)平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是m'和n',下列四个命题中不正确的命题是( )
A.m'⊥n'?m⊥n
B.m⊥n?m'⊥n'
C.m'与n'相交?m与n相交或重合
D.m'与n'平行?m与n平行或重合
解析由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法,观察如图的正方体:
∵AC⊥BD,但A1C,BD1不垂直,∴A错;
∵A1B⊥AB1,但在底面上的射影都是AB,∴B错;
∵AC,BD相交,但A1C,B1D1异面,∴C错;
∵AB∥CD,但A1B,C1D异面,∴D错.
故选ABCD.
答案ABCD
4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A.都平行 B.都相交
C.在两平面内 D.至少和其中一个平行
解析若该直线不属于任何一个平面,则其与两平面平行;若该直线属于其中一个平面,则其必和另一个平面平行.
答案D
5.已知异面直线a与b满足a?α,b?β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是( )
A.c与a,b都相交
B.c至少与a,b中的一条相交
C.c至多与a,b中的一条相交
D.c至少与a,b中的一条平行
解析∵a?α,c?α,
∴a与c相交或平行.
同理,b与c相交或平行.
若c∥a,c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾.
∴a,b不能都与c平行,即直线a,b中至少有一条与c相交.
答案B
6.下列命题中,正确的命题为( )
A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α
B.若a∥α,则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C.若a?α,则a与α有无数个公共点
D.若a?α,则a与α没有公共点
解析AD中,a与α可相交;B中a与α内的直线可异面;故ABD不正确,C正确.
答案C
7.(多选题)给出的下列四个命题中,其中不正确的命题是 ( )
A.平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
B.平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行
C.平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行
D.若两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交或重合
解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于A,在平面A1D1DA中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题A错.
对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故B是错误的.
对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AA1,DD1,BB1,CC1的中点E,F,G,H,A1,B,C到平面EFHG的距离相等,而△A1BC与平面EFHG相交,故C是错误的.对于D,两平面位置关系中不存在重合,若重合则为一个平面,故命题D错.
答案ABCD
8.在四棱锥P-ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有 对.?
解析以底边所在直线为准进行考查,因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内,不可能组成异面直线,而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×2=8对异面直线.
答案8
9.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是 ,表示直线GH,MN平行的图形是 (填序号).?
解析①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG、NM必相交,②④中GH、MN为异面直线.
答案②④ ①
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1等)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有 个.?
解析如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.
答案3
11.A,B是直线l外两点,过A,B且与l平行的平面有 个.?
解析当直线AB与l相交时,有0个;当直线AB与l异面时,有1个;当直线AB∥l时,有无数个.
答案0,1或无数
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系.
解B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是:
B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D,B1C与平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.
D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交.
课件49张PPT。11.1.2 构成空间几何体的基本元素一、空间中的点、线、面
1.思考
宁静的湖面、海面;生活中的课桌面、黑板面;一望无垠的草原给你什么样的感觉?
问题1:生活中的平面有大小之分吗?
提示:有.
问题2:几何中的“平面”是怎样的?
提示:从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分.2.填空
(1)几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
(2)长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也称为“体”),包围着几何体的是“面”,面与面相交给人“线”的形象,线与线相交给人“点”的形象.这就是说,可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.
另外,点运动的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨迹可以是体.(3)一些文字语言与数学符号的对应关系: 3.做一做
(1)如图,图①的平面可表示为平面α、平面ABC、平面ABD或平面ABCD.(2)图①中,A∈AB,B∈AB,C?AB,
(3)图②中,E∈EF,E∈AB,则AB∩EF=E.
EF?α,EF?β,则α∩β=EF.二、空间中点与直线、直线与直线的位置关系
1.思考
同一个平面内的两条直线,如果不相交,就一定平行.这一结论可以推广到空间中的两条直线吗?
提示:不能,还存在异面的情况,即不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2.填空
(1)空间中点与直线的位置关系. (2)空间中直线与直线的位置关系. 温馨提示:不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.
如图所示,虽然有a?α,b?β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.3.做一做
(1)判断正误.
①没有公共点的两条直线是平行直线. ( )
②互相垂直的两条直线是相交直线. ( )
③既不平行又不相交的两条直线是异面直线. ( )
④不在同一平面内的两条直线是异面直线. ( )
解析:异面直线既不平行,也不相交,故①错误.③正确;互相垂直不一定相交,因为有异面垂直,故②错误;不在同一平面内的两条直线相交、平行或异面,故④错误.
答案:①× ②× ③√ ④×(2)若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
解析:若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
答案:D(3)一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
解析:如图,
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
AA1与BC是异面直线,
又AA1∥BB1,AA1∥DD1,
显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线.
答案:B三、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1.思考
(1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?
提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行.
(2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?
提示:这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面.2.填空
(1)直线在平面内
不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面α内,这称为直线l在平面α内(或平面α过直线l),记作l?α;(2)直线在平面外
直线m上至少有一个点不在平面α内,这称为直线m在平面α外,记作m?α;图中的m与α有且只有一个公共点(称为直线m与平面α相交),一般简写为m∩α=B.(3)直线与平面平行
一般地,如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则l∩α≠?与l∩α=?有且只有一种情况成立.而且,当l∩α≠?时,要么l?α,要么l与α只有一个公共点;当l∩α=?时,称直线l与平面α平行,记作l∥α.
(4)平面与平面相交
如图α与β有公共点,这称为平面α与平面β相交,记作α∩β≠?.更进一步可以看出,一个点是α与β的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作α∩β=k.(5)平面与平面平行
如果α与β是空间中的两个平面,则α∩β≠?与α∩β=?有且只有一种情况成立.而且,当α∩β≠?时,α与β的公共点组成一条直线;当α∩β=?时,称平面α与平面β平行,记作α∥β.
(6)直线与平面的位置关系列表比较温馨提示:一般地,直线a在平面α内时,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内,切勿画出来;直线a与平面α相交时,应画成直线a与平面α只有一个公共点,被平面α遮住的部分画成虚线或不画;
直线a与平面α平行时,应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行,并画在表示平面α的平行四边形外.(7)两个平面的位置关系列表比较 温馨提示:画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,两个平行四边形上下放置.3.做一做
(1)判断正误.
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α. ( )
②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ( )
③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. ( )
解析:①中当直线l与平面α相交时,也满足条件,但此时l不平行于α,不正确,②中有另一条在这个平面内的情况,不正确,③正确.
答案:①× ②× ③√(2)若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
解析:因为M∈α,M∈β,所以α与β相交于过点M的一条直线.
答案:B
(3)空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有 条.?
解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三条交线,三条交线平行或相交于一点.
答案:1或3四、直线与平面垂直
1.思考
鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?
提示:不能.
问题2:上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么?
提示:直线垂直于平面内的两条相交直线.
问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗?
提示:不一定.2.填空
(1)直线与平面垂直的定义
①自然语言:一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内的任意一条过点A的直线m,都有l⊥m,则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线,α是直线l的一个垂面),记作l⊥α.
其中,点A称为垂足.
②图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
③符号语言:任意a?α,都有l⊥a?l⊥α.(2)投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间的距离的定义
给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的射影(也称为投影),线段AB为平面α的垂线段,AB的长为点A到平面α的距离.
特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离;当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.3.做一做
直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,
又∵m?α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
答案:A探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测文字、图形、符号三种语言的转化
例1用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;
(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.
图形表示:如图①所示.(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图形表示:如图②所示.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面间的位置关系只能用“?”或“?”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为 .?
(2)根据右图,填入相应的符号:A 平面ABC,A 平面BCD,BD 平面ABC,平面ABC∩平面ACD= .?
(3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,B?MN,C∈β,C?MN.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解:(1)M∈a,a?α,M∈α
(2)∈ ? ? AC
(3)如图所示.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测空间两条直线位置关系的判定
例2已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.
解:直线a与c的位置关系有三种情况.
直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.反思感悟判定两条直线位置关系的方法
判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练2
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;?
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;?
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;?
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .?探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解析:对于(1),因为A1D1??B1C1,B1C1??BC,所以A1D1??BC,即四边形A1D1CB为平行四边形,所以A1B∥D1C.
对于(2),因为直线A1B?平面A1B,B1∈平面A1B,且B1?直线A1B,直线CB1?平面A1B,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.同理(4)中直线AB与直线B1C也是异面直线;对于(3)直线D1D与直线D1C显然相交.
答案:(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测直线与平面的位置关系
例3下列五个命题中正确命题的个数是( )
①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥b;
④如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α;
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.
A.0 B.1
C.2 D.3探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解析:如图所示, 答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情况都要考虑到,避免遗漏.正方体(长方体)是立体几何中的重要模型,直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映,故我们可以把要判断位置关系的直线、平面放在正方体(长方体)中,以便正确作出判断,避免凭空臆断.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练3下列命题中的真命题是( )
A.若点A∈α,点B?α,则直线AB与平面α相交
B.若a?α,b?α,则a与b必异面
C.若点A?α,点B?α,则直线AB∥平面α
D.若a∥α,b?α,则a∥b
解析:选项A正确.对于选项B,如图①显然错误.
对于选项C,如图②显然错误.
对于选项D,如图③显然错误,故选A.答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测两个平面的位置关系
例4α,β是两个不重合的平面,下面说法正确的是 ( )
A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解析: 答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟判断两平面之间的位置关系时,可把自然语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于直观想象能力,确定平面间的位置关系.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练4如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是 ( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
解析:由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行.解答本题可逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如图所示).答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测直线和平面垂直的定义
例5直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是( )
A.l和平面α平行
B.l和平面α垂直
C.l在平面α内
D.不能确定解析:如图所示,直线l和平面α平行,或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练5在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不能作为平面ABCD垂线的是( )
A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.AD1
答案:D探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测线、面位置关系图形的画法
例6作出下列各题的图形.
(1)画直线a,b,使a∩α=A,b∥α.
(2)画平面α,β,γ,使α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n.解: 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练6在图中画出三个两两相交的平面. 解:如图所示: 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测1.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一平面的位置关系为( )
A.平行
B.相交
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
解析:由题知这条直线可能在另一平面内也可能与另一平面平行.
答案:D探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对.?
解析:如图所示,在长方体AC1中,与对角线AC1成异面直线位置的是:A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC,所以组成6对异面直线.
答案:6探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;
②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.
其中错误命题的序号为 .?
解析:对于①,两个平面相交,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误.
答案:①②探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测4.简述结论,并画图说明.
直线a在平面α内,直线b与直线a相交,则直线b与平面α的位置关系如何?
解:直线b与平面α的位置关系有两种:
b?α,或b∩α=A.
