第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列几何体中,侧棱一定相等的是( )
A.棱锥 B.棱柱
C.棱台 D.圆柱
答案B
2.设有四种说法:
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
以上说法中,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.
答案A
3.若正方体的全面积为72,则它的对角线的长为( )
A.23 B.12 C.6 D.6
解析设正方体的棱长为a,则6a2=72,所以a=23.所以对角线长为a2+a2+a2=3a=6.故选D.
答案D
4.下面多面体中,是棱柱的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足.故选D.
答案D
5.(多选题)下列说法中不正确的是( )
A.所有的棱柱都有一个底面
B.棱柱的顶点至少有6个
C.棱柱的侧棱至少有4条
D.棱柱的棱至少有4条
解析棱柱有两个底面,所以A项不正确;棱柱底面的边数至少是3,则在棱柱中,三棱柱的顶点数至少是6,三棱柱的侧棱数至少是3,三棱柱的棱数至少是9,所以C,D项不正确,B项正确.故选ACD.
答案ACD
6.下列命题中正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
解析A中的平面不一定平行于底面,故A错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.故选D.
答案D
7.面数最少的棱柱为 棱柱,共有 个面围成.?
解析棱柱有相互平行的两个底面,其侧面至少有3个,故面数最少的棱柱为三棱柱,共有五个面围成.
答案三 5
8.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm 和18 cm,侧棱长为13 cm,则其表面积为 .?
解析由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h=132-18-822=12(cm),
所以S侧=4×12×(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1 012(cm2).
答案1 012 cm2
9.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.?
解析由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13cm.
答案13
10.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征.
解(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台.
(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥.
(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱.
(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱.
能力提升
1.(多选题)下面说法不正确的是( )
A.棱锥的侧面不一定是三角形
B.棱柱的各侧棱长不一定相等
C.棱台的各侧棱延长必交于一点
D.用一个平面截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,另一个是棱台
答案ABD
2.已知正方体的8个顶点中,有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点,则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶2 D.3∶6
解析棱锥B'-ACD'为适合条件的棱锥,四个面为全等的等边三角形,设正方体的边长为1,则B'C=2,S△B'AC=32.三棱锥的表面积S锥=4×32=23,又正方体的表面积S正=6,因此S锥∶S正=23∶6=1∶3.故选B.
答案B
3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是( )
A.1 B.0
C.快 D.乐
解析如图得到正方体,
从图中可以看到“1”在正方体的后面,“快”在正方体的右面,“乐”在前面,下面、左面均为“0”.故选B.
答案B
4.(多选题)正方体截面的形状有可能为( )
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
解析画出截面图形如图,
可以画出正三角形但不是直角三角形(如图1);
可以画出正方形(如图2);
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形(如图3);
正方体有六个面,用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,且可以画出正六边形(如图4).
故选ABD.
答案ABD
5.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1
解析由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体,所以要使结论成立,只需A1B1AB=B1C1BC=A1C1AC便可.经验证C选项正确.故选C.
答案C
6.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有 条.?
解析在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.
答案10
7.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC(即正四面体S-ABC),则其表面积为 .?
解析由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.所以S△SBC=12a2sin 60°=34a2.
因此,四面体S-ABC的表面积S=4×34a2=3a2.
答案3a2
8.下列说法正确的是 .(填序号)?
①一个棱锥至少有四个面;
②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;
③五棱锥只有五条棱;
④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.
解析①正确.②不正确.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等.也可以不等.③不正确.五棱锥除了五条侧棱外,还有五条底边,故共10条棱.④正确.
答案①④
9.一个几何体的表面展开平面图如图.
(1)该几何体是哪种几何体;
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?
解(1)该几何体是四棱台;
(2)与“祝”相对的面是“前”,与“你”相对的面是“程”.
10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?
解(1)不对;水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱;但不可能是棱台或棱锥.
(3)①不对,只有一条棱着地水面才是矩形;②不对,只有一条棱着地水才是棱柱.
课件40张PPT。11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台一、多面体与棱柱
1.思考
(1)观察下面物体,你能说出各组物体的共同点吗?提示:几何体的表面由若干个平面多边形围成. (2)观察下列多面体,有什么共同特点? 提示:有两个面相互平行;其余各面都是平行四边形;每相邻两个四边形的公共边都互相平行.(3)棱柱的侧面一定是平行四边形吗?
提示:根据棱柱的特点知侧棱平行、底面平行,所以棱柱的侧面一定是平行四边形.
(4)多面体最少有几个面?
提示:至少有4个面.2.填空
(1)多面体的概念(2)棱柱的概念 3.做一做
(1)判断正误.
①棱柱的侧面可以不是平行四边形. ( )
②多面体的一个面可以是曲面. ( )
③棱柱的棱都相等. ( )
答案:①× ②× ③×
(2)下面属于多面体的是 (将正确答案的序号填在横线上).?
①建筑用的方砖;②埃及的金字塔;③茶杯;④球.
答案:①②
(3)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,每个矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为 .?
解析:棱柱的侧面积S侧=3×6×4=72(cm2).
答案:72 cm2二、棱锥与棱台
1.思考
(1)观察下列多面体,有什么共同特点?提示:有一个面是多边形;其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (2)观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系? 提示:①区别:有两个面相互平行.
②联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体.
(3)棱台的上下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗?
提示:根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.2.填空
(1)棱锥的概念(2)棱台的概念 3.做一做
(1)在三棱锥A-BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:每个面都可作为底面,有4个.
答案:D
(2)(多选题)棱台具备的特点是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都平行
D.侧棱延长后都交于一点
解析:由棱台的定义和结构特征知C为棱台不具备的特点.
答案:ABD(3)下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为( ) 解析:A中不符合棱锥定义,不是棱锥,B为四棱锥,C、D均为五棱锥.
答案:A探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测多面体的识别与判断
例1如图所示为长方体ABCD-A'B'C'D',当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测解:条件为一个四棱柱被一个平面所截,观察所得几何体上、下底面的关系与侧棱间的位置关系,抓住图中线段EF和B'C'的位置关系,根据定义得出结论.
截面BCFE右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定义.
它是三棱柱BEB'-CFC',
其中△BEB'和△CFC'是底面,
EF,B'C',BC是侧棱.
截面BCFE左侧部分也是棱柱.
它是四棱柱ABEA'-DCFD',
其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面.
A'D',EF,BC,AD为侧棱.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练1如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是 .?解析:由棱柱的定义可得有3个.
答案:3探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测棱柱的结构特征
例2下列关于棱柱的说法:
①所有的面都是平行四边形;
②每一个面都不会是三角形;
③两底面平行,并且各侧棱也平行;
④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中说法正确的序号是 .?
解析:①错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
②错误,三棱柱的底面是三角形;
③正确,由棱柱的定义易知;
④正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是③④.
答案:③④探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练2(多选题)下列四个命题中,真命题为 ( )
A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B.棱柱的各个侧面都是平行四边形
C.棱柱的两底面是全等的多边形
D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
解析:A错,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,B、C、D是正确的.
答案:BCD探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测棱锥、棱台的结构特征
例3下列几种说法中,正确的有( )
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②棱台的侧面一定不会是平行四边形;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分才是棱台,故①不正确;棱台的侧面一定是梯形,故②正确;③不一定是棱台,因为各条侧棱延长后不一定相交于一点,故③不正确.
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测反思感悟关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法
(1)举反例法.
结合棱锥、棱台的定义举反例判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练3下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的底面一定不会是平行四边形;
②棱锥的侧面只能是三角形;
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中所有正确说法的序号是 .?解析:①不正确,棱台的底面可以是平行四边形还可以是其它多边形;
②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
③正确;
④错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案:②③探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测多面体的侧面积或表面积
例4(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,
∠BB1C1=90°,侧棱长为b,则其侧面积为( )探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测解析:如图,
由已知条件可知,侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形,侧面BB1C1C为矩形.
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=a,答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测(2)如图,已知四棱锥S-ABCD的棱长均为5,底面为正方形,求它的侧面积和表面积.解:因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,所以各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点,连接SE,探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测(3)已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.
解:如图,E、E1分别是BC、B1C1的中点,
O、O1分别是下、上底面正方形的中心,
则O1O为正四棱台的高,则O1O=12.
连接OE、O1E1,探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练4(1)一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为( )探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测解析:如图所示,设O1、O分别为棱台上、下底面中心,M1、M分别为B1C1、BC的中点,连接O1M1、OM,则M1M为斜高.过M1作M1H⊥OM于H点,
则M1H=OO1,答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测(2)已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底面正方形的射影为底面正方形的中心(正四棱锥),底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,如图所示,求正四棱锥的侧面积和表面积(单位:cm2).提示:利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解,然后代入公式.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测解:正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.
∵OE=2 cm,∠OPE=30°,S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2). 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测多面体的平面展开图
例5如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?答案:①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.如图所示. 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练5纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,如下图1,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图2.则标“△”的面的方位是( )A.南 B.北 C.西 D.下
解析:将所给图形还原为正方体,如图3所示,最上面为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让左面向东,让“上”面向上可知“△”的方位为北.
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测截面周长最小问题
典例如图所示,在侧棱长为2 的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面AEF分别交VB,VC于点E,F,求截面△AEF周长的最小值.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测分析将正三棱锥沿侧棱VA展开→求截面周长转化为求线段长→
利用正三棱锥的性质求解
解:将三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开,将其侧面展开图平铺在一个平面上,如图所示,则△AEF的周长=AE+EF+FA1.
因为AE+EF+FA1≥AA1,
所以线段AA1(即A,E,F,A1四点共线时)的长即为所求△AEF周长的最小值.
作VD⊥AA1,垂足为点D.
由VA=VA1,知D为AA1的中点.
由已知∠AVB=∠BVC=∠CVA1=40°,
得∠AVD=60°.即AA1=2AD=6.
所以截面△AEF周长的最小值是6.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体
解析:棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
答案:B
2.(多选题)如图所示,不是正四面体(正四面体是各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )解析:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现AB可折成正四面体,CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选CD.
答案:CD探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测3.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台(仅填相应序号).?解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
答案:①③④ ⑥ ⑤探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测4.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是 .?解析:倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱(或三棱柱).
答案:四棱柱(或三棱柱)探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测5.如图,四边形ABCD是一个正方形,E,F分别是AB和BC的中点,沿折痕DE,EF,FD折起得到一个空间几何体,请你动手折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.解:折起后是一个三棱锥,如图所示.
