第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体
课后篇巩固提升
基础巩固
1.一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面的面积是2S,则它的一个底面的面积是( )
A.πS2 B.πS4 C.S D.πS
解析设底面半径为r,则4r2=2S,故底面面积=πr2=π·S2=πS2.故选A.
答案A
2.(多选题)下列说法正确的是( )
A.以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱
B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面围成的几何体叫做圆锥
C.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面围成的几何体叫做圆锥
D.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转形成的面围成的几何体叫做圆锥
解析由直观想象知ACD正确,B中若以直角三角形斜边为轴旋转的几何体不是圆锥.故选ACD.
答案ACD
3.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个圆锥
解析连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直,故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.故选D.
答案D
4.以边长为1的正方形的一边所在直线为轴旋转,将正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A.2π B.π C.2 D.1
解析由题圆柱底面半径r=1,
圆柱高h=1,S=2πrh=2π.故选A.
答案A
5.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为( )
A.8 B.8π C.4π D.2π
解析易知2πr=4,则2r=4π,所以轴截面面积=4π×2=8π.故选B.
答案B
6.关于圆台,下列说法正确的是 .?
①两个底面平行且全等;
②圆台的母线有无数条;
③圆台的母线长大于高;
④两底面圆心的连线是高.
解析圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆,则①不正确,②③④正确.
答案②③④
7.下列说法正确的是 .(填序号)?
①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面;
④圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长.
解析根据圆柱母线的定义,①错误;以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台,以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台,故②错误;圆锥只有一个底面,故③错误;根据圆锥母线的定义,④正确.
答案④
8.圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 ,表面积为 .?
解析由已知得圆柱OO'的底面半径为r=2,母线l=6,则其侧面积S侧=2πrl=2×π×2×6=24π,表面积S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+6)=32π.
答案24π 32π
9.一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形,则其表面积为 .?
解析由题,圆锥的底面半径r=a2,母线长l=a,则其表面积为S表=πr(r+l)=π·a2·a2+a=34πa2.
答案34πa2
10.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,求球O的半径.
解如图,设球O的半径为R,则
由AH∶HB=1∶2得HA=13·2R=23R,
所以OH=R3.
因为截面面积为π=π·(HM)2,所以HM=1.
在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,
所以R2=19R2+HM2=19R2+1,
所以R=324.即球O的半径为324.
能力提升
1.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析设圆锥的底面半径是r,母线长是l.如图所示,2πr=πl,
所以2r=l.所以rl=12.
所以轴截面对应的等腰三角形的底角为60°.故选C.
答案C
2.已知一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上,则此球的半径为( )
A.2 cm B.3 cm C.23 cm D.2 cm
解析正方体外接球的直径2R等于正方体体对角线的长,即2R=22+22+22=23(cm),∴R=3 cm.故选B.
答案B
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A.1+2π2π B.1+4π4π C.1+2ππ D.1+4π2π
解析设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,∴S全=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π).又S侧=h2=4π2r2,∴S全S侧=1+2π2π.故选A.
答案A
4.中心角为135°,面积为B的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为A,则A∶B等于( )
A.11∶8 B.3∶8 C.8∶3 D.13∶8
解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则2πr=34πl,则l=83r,所以A=83πr2+πr2=113πr2,B=83πr2,得A∶B=11∶8.故选A.
答案A
5.(多选题)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( )
解析当截面平行于正方体的一个侧面时得C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A,但无论如何都不能截出D.
答案ABC
6.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm,表面积为 .?
解析如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,
AC=12 cm,BC=8-3=5 cm.所以AB=122+52=13(cm).
表面积为S=π(33+82+3×13+8×13)=216π.
答案13 216π
7.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面,那么截面图形可能是图中的 .(把所有可能的图的序号都填上)?
解析在与圆柱底面垂直的截面中,随着截面位置的变化,截面图形也会发生变化.当截面经过圆柱的轴时,所截得的图形是图(1).当截面不经过圆柱的轴时,截得的图形是图(3).而图(2)(4)是不会出现的.
答案(1)(3)
8.定义如图所示的几何体为斜截圆柱(由不平行圆柱底面的平面截圆柱得到),已知斜截圆柱底面的直径为40 cm,母线长最短50 cm、最长80 cm,则斜截圆柱侧面展开图的面积S= cm2.?
解析把斜截圆柱补成底面半径20 cm,高130 cm的圆柱,则侧面展开可得斜截圆柱侧面展开圆面积S=12(50+80)×40π=2 600π(cm2).
答案2 600π
9.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
解如图,
设这两个截面的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球半径为R.则πr12=5π,πr22=8π,
∴r12=5,r22=8.
又∵R2=r12+d12=r22+d22,∴d12?d22=8-5=3,
即(d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,∴d1+d2=3,d1-d2=1,
解得d1=2,d2=1.∴R=r12+d12=5+4=3.
10.如图,正方形ABCD的边长为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.若沿EF,FG,GH,HE将四角折起,试问能折成一个四棱锥吗?为什么?你从中能得到什么结论?对于圆锥有什么类似的结论?
解连接EG,FH,
将正方形分成四个一样的小正方形.若将正方形ABCD沿EF,FG,GH,HE折起,则四个顶点必重合于正方形的中心,故不能折成一个四棱锥.由此我们可以推想:
(1)所有棱锥的侧面三角形上以公共顶点为顶点的所有角之和必小于360°;
(2)所有棱锥的侧面展开图不可能由若干个有公共顶点的三角形组成,并且公共顶点在图形的内部(如图所示).
另外,对于圆锥我们有下列猜测:
圆锥的侧面展开图一定是一个扇形,绝不可能是圆,但可以是一个半圆.
课件40张PPT。11.1.5 旋转体一、圆柱、圆锥、圆台
1.思考
(1)圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗?
提示:能,这三类几何体都是旋转体,可以分别通过矩形,直角三角形,直角梯形绕一特定轴旋转形成.(2)将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来.
提示:将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后在平面上展开,侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环,如图所示.2.填空
(1)圆柱、圆锥、圆台:
圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;
圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;
圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.
用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体,其中,旋转轴称为旋转体的轴,在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.而且,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都称为母线.在旋转体中,通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面.由圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出,三者的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
显然,圆台可以看成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体.
旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积,侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积).(2)圆柱、圆锥、圆台的相关特征: (3)几种几何体的表面积公式 3.做一做
(1)判断正误.
①圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面. ( )
②用平面去截圆锥,会得到一个圆锥和一个圆台.( )
答案:(1)①√ ②×
(2)圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于( )
A.72 B.42π C.67π D.72π
解析:S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.
答案:C(3)下列图形中是圆柱的序号为 .? 解析:由圆柱的几何特征知②为圆柱.
答案:②(4)如图所示,已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h= .?答案:3 二、球
1.思考
(1)平时我们大家在体育课上玩的篮球与本节将要研究的球的概念一致吗?
提示:不一致.因为篮球内部是空的,球是几何体(内部不是空的).球体的表面称之为球面.若篮球皮厚度不计,篮球不是球体,但比较接近球面的定义.
(2)实际生活中,飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行?
提示:因为球面上两点间的最短距离是球面距离,这样走可使行程最短.2.填空
(1)球的相关概念
球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面;球面围成的几何体,称为球.球也是一个旋转体.
形成球面的半圆的圆心称为球的球心,连接球面上一点和球心的线段称为球的半径,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径.
由球面的形成过程可看出,球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的截面是一个圆面(圆及其内部).
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
(2)球的表面积
设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.3.做一做
(1)球的任意两条直径不具有的性质是( )
A.相交 B.互相平分
C.互相垂直 D.都经过球心
解析:球的任意两条直径相交、互相平分、都经过球心,不一定互相垂直.故选C.
答案:C(2)有下列说法:
①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段;
②球的直径是连接球面上任意两点的线段;
③用一个平面截一个球,得到的是一个圆.
其中说法正确的序号是 .?
解析:利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球心;③不正确,因为得到的是一个圆面.
答案:①探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体的结构特征
例1判断下列各命题是否正确.
①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;
②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;
③空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球.解:①错误.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
②正确.
③错误.应为球面.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练1给出下列说法:①圆柱的底面是圆面;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中正确的是 .?
解析:①正确;②正确;
③不正确,圆台的母线延长相交于一点;
④不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体.
答案:①②探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体中的基本计算
例2如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3,
(1)求圆台O'O的母线长;
(2)若圆台上底面的半径为1,求它的表面积.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测解:设圆台的母线长为l,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面,如图所示.即圆台的母线长为9.
(2)若圆台上底面的半径为1,
则下底面的半径为4,
故它的表面积为S=π(12+42+1×9+4×9)=62π.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练2一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解:(1)如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,
设圆台的高为h cm,由条件可得圆台上底半径r'=2 cm,下底半径r=5 cm.
由勾股定理得探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体的侧面积或表面积
例3(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 ,则这个圆锥的侧面积是( )答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(2)圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为( )解析:设底面圆的半径为r,母线为l,由已知得S=πr2,
又l=2πr,∴侧面积S'=2πrl=4π2r2=4πS.故选A.
答案:A探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(3)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)解:如图,设圆台的上底面周长为c,
因为扇环的圆心角180°,所以c=π·SA.
又c=2π×10=20π,所以SA=20 cm.
同理SB=40 cm,所以AB=SB-SA=20(cm).
S表面积=S侧+S上底+S下底
=π(O1A+OB)·AB+π·O1A2+π·OB2
=π(10+20)×20+π×102+π×202
=1 100π(cm2)
所以圆台的表面积是1 100π cm2.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练3(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于( )
A.15 B.15π C.24π D.30π
解析:S侧=πrl=π×3×5=15π.故选B.
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(2)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为( )
A.6π(4π+3)
B.8π(3π+1)
C.6π(4π+3)或8π(3π+1)
D.6π(4π+1)或8π(3π+2)
解析:圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).故选C.
答案:C探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(3)如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为( )
A.81π B.100π
C.14π D.169π解析:圆台的轴截面如图,
设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.
因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,
有102=(4r)2+(4r-r)2.解得r=2.
所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.故选B.
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测旋转体的截面与侧面展开
例4已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm,2 cm,截得圆台的圆锥的母线长为12 cm,求圆台的母线长.解:如图是圆台的轴截面,
由题意知AO=2 cm,A'O'=1 cm,
SA=12 cm.所以AA'=SA-SA'=12-6=6(cm).
所以圆台的母线长为6 cm.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测延伸探究本例条件不变,若将此圆台沿一条母线展开,得到一个扇环(如图).
(1)求扇环的圆心角;
(2)求扇环的面积.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测变式训练4圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.
解:圆台的轴截面如图所示,
O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心,过D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.
由题意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3.所以GE=2.
所以圆O3的半径为3,所以这个截面的面积为9π.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测球中的计算问题
例5(1)已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为 .?
解析:因为AB=10,AC=6,BC=8,
所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.
所以r=5.
轴截面图如图,所以d2=R2-r2=132-52=122.
所以球心O到△ABC所在小圆的距离为12.
答案:12探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测反思感悟解决有关球的问题时常用到的性质
(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直.
(2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截面的距离,则R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三角形问题.探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测答案:9π 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测(2)用一个平面截半径为5 cm的球,球心到截面的距离为4 cm,求截面圆的面积.解:如图所示,设AK为截面圆的半径,O为球心,则OK⊥AK.
在Rt△OAK中,OA=5 cm,OK=4 cm,探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测1.圆锥的母线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
解析:圆锥的母线在侧面上,有无数条.
答案:D探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测2.(多选题)下列几何体不是台体的是( ) 解析:台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱延长后没有交于一点.B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥.结合棱台和圆台的定义可知D是台体.
答案:ABC探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测3.圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 ,表面积为 .?
解析:由已知得圆柱OO'的底面半径为2,则其侧面积S侧=2πrl=2×π×2×6=24π,表面积S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+6)=32π.
答案:24π 32π探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测4.如图几何体是由第 个平面图形旋转得到的.? 解析:因为题图为一个圆台和一个圆锥的组合体,因此平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成的.由此可知①、②、④不正确.③正确.
答案:③探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测5.如图甲、乙、丙、丁是不是棱锥、圆柱、圆锥、圆台等几何体? 解:图甲中的六个三角形不是有一个公共顶点,故不是棱锥,只是一个多面体;图乙不是圆柱,因为上、下两底面不平行(或不是由一个矩形旋转而成);图丙不是由一个直角三角形旋转而成,故不是圆锥;图丁截圆锥的平面与底面不平行,故截面与底面之间的几何体不是圆台.
