第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )
A.1∶3∶4 B.1∶3∶2
C.1∶2∶4 D.1∶4∶2
解析设球的半径为R,则V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=43πR3.
所以V圆锥∶V圆柱∶V球=23∶2∶43=1∶3∶2.故选B.
答案B
2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是 ( )
A.216 B.72 C.108 D.648
答案A
3.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是( )
A.63 B.36
C.11 D.12
解析设长方体长、宽、高分别为a,b,c,则ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,∴V=abc=63.
答案A
4.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析由题意,V=13(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.
答案A
5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A.1 B.12
C.32 D.34
解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R.故V柱∶V锥=πR2h∶13πr2h=34.故选D.
答案D
6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析设两球的半径分别为R、r(R>r),则由题意得4π3R3+4π3r3=12π,2πR+2πr=6π,解得R=2,r=1.故R-r=1.故选A.
答案A
7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论正确的是( )
A.AC⊥平面BEF
B.AE,BF始终在同一个平面内
C.EF∥平面ABCD
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
解析由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,
∴A对;
∵EF∥BD,BD?面ABCD,EF?面ABCD,得EF∥平面ABCD,∴C对;
∵S△BEF=12×22×1=24,设AC,BD交于点O,
AO⊥平面BB1D1D,AO=22
∴VA-BEF=13×24×22=112,∴D对;
∵B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一个平面内,B错误.
故选ACD.
答案ACD
8.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r= .?
解析设底面半径为r,则13πr2×4=4π,解得r=3,即底面半径为3.
答案3
9.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为 .?
解析设球O的半径为r,则43πr3=23,解得r=36π.
答案36π
10.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为 .?
解析由43πR3=43π,得R=1.
设正方体的棱长为a,则3a=2R,所以a=23,
故正方体的表面积S表=6a2=6×232=8.
答案8
11.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,钢球全部没入水中,水面升高4 cm,则钢球的半径是 .?
解析圆柱形玻璃容器中水面升高4 cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有43πR3=36π,所以R=3 cm.
答案3 cm
12.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm,2.243≈11.240 98).
解由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×43π×5023≈516 792(g),
街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000<516 792,
所以钢球是空心的.
设球的直径为2x cm,那么球的质量为7.9×43π×5023-43πx3=145 000.
解得x3≈11 240.98,
∴x≈22.4,2x≈45(cm).
即钢球是空心的,其内径约为45 cm.
能力提升
1.
如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为( )
A.1∶1∶1
B.1∶1∶2
C.1∶2∶4
D.1∶4∶4
解析设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S,
所以VA1-ABC=13S△ABC·h=13Sh,
VC-A1B1C1=13S△A1B1C1·h=43Sh.
又V台=13h(S+4S+2S)=73Sh,
所以VB -A1B1C=V台-VA1-ABC?VC -A1B1C1
=73Sh-13Sh-43Sh=23Sh.
所以所求体积之比为1∶2∶4.故选C.
答案C
2.三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是( )
解析V=13S△AMC·NO=1312×3x×sin30°·(8-2x)=-12(x-2)2+2,x∈[0,3].故选A.
答案A
3.两个相同的正四棱锥组成如图①所示的几何体,可放入棱长为1的正方体(如图②)内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
解析沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开,截面如图③所示.
图③
可见正方形中内接正方形的面积S不可能唯一,故V=13×S×12×2不唯一.
答案D
4.有64个直径都为a4的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则( )
A.V甲>V乙且S甲>S乙 B.V甲C.V甲=V乙且S甲>S乙 D.V甲=V乙且S甲=S乙
解析计算得V甲=16πa3,S甲=4πa2,V乙=16πa3,S乙=πa2,∴V甲=V乙,且S甲>S乙.故选C.
答案C
5.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为 .?
解析由题意设两球半径分别为R、r(R>r),
则4πR2-4πr2=48π,2πR+2πr=12π,即R-r2=12,R+r=6.
所以R-r=2.
答案2
6.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为 cm.?
解析设半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱的高分别为h1 cm和h2 cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.
答案29
7.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用),已建仓库的底面直径为12 m,高4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积.
(2)哪个方案更经济?
解(1)方案一中仓库的底面直径变成16 m,半径r1为8 m,高h1为4 m,则圆锥的母线长l1=45 m,所以仓库的体积V1=13πr12h1=2563π(m3).表面积S1=πr1l1=325π(m2).
方案二中仓库的高h2变成8 m,半径r2为6 m,则圆锥的母线长为l2=10 m.所以仓库的体积V2=13πr22h2=2883π(m3)=96π(m3),表面积S2=πr2l2=60π(m2).
(2)因为V2>V1,S2故方案二比方案一更经济.
8.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
解(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm,
所以两个半球的体积之和为
V球=43πR3=43π·27=36π(cm3).
又圆柱筒的体积为
V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).
所以这种“浮球”的体积是
V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).
(2)根据题意,上下两个半球的表面积是
S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为
S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积为
S=36π+12π104=48π104(m2).
因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为
2 500S=2 500×48π104=12π(m2).
因为每平方米需要涂胶100克,
所以共需要胶的质量为100×12π=1 200π(克).
课件31张PPT。11.1.6 祖暅原理与几何体的体积一、祖暅原理
1.思考
(1)请计算一下长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体的体积什么结论?
提示:根据V柱体=S底·h得这两个几何体的体积相等,均为24 cm3.由此可知等底面积,且等高的圆柱和长方体的体积相等,不仅如此,在此基础上还有下面的一般规律——祖暅原理.(2)运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?
提示:需要三个条件,分别是:
①这两个几何体夹在两个平行平面之间.
②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.
③两个截面的面积总相等.2.填空
填空:(1)祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等”.
(2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
(3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.3.做一做
判断正误.
(1)等底等高的两个柱体的体积相同. ( )
(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍. ( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、柱、锥、台的体积
1.思考
(1)求三棱锥的体积时有什么技巧?
提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.(2)台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求?
提示:台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下:2.填空
柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,柱体、锥体的底面积为S,底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r'和r.3.做一做
(1)判断正误.
①棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出. ( )
②棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. ( )
③圆台的高就是相应母线的长. ( )
答案:①√ ②× ③×
(2)圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为( )
A.36π B.18π
C.45π D.12π答案:D (3)已知棱台的上、下底面面积分别为4、16,高为3,则该棱台的体积为 .?答案:28 三、球的体积
1.思考
(1)球有底面吗?球面能展开成平面图形吗?
提示:球没有底面,球的表面不能展开成平面.2.填空
一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球= .?3.做一做
(1)判断正误.
①决定球的大小的因素是球的半径. ( )
②球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. ( )④两个球的体积之比等于其半径比的立方. ( )
答案:①√ ②√ ③√ ④√答案:B (3)已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为 .?答案:36π 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测柱体的体积
例1用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?
解:①若以矩形的长为圆柱的母线l,
则l=4 m,
此时圆柱底面周长为2 m,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥
AC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则剩余部分的体积为 cm3.?答案:24 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测锥体的体积 解析:作圆锥的轴截面(如图所示).
由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB. 答案:A 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为( )解析:由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度为h,圆的半径为r.圆锥的轴截面为正三角形,答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测台体的体积
例3已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.解:如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O'、O分别为上、下底面的中心,D、D'分别是BC,B'C'的中点,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R,l,高为h.
作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测球的体积
例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4 π,求正四面体的体积.
解:将正四面体ABCD置于正方体中.
正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径.设外接球的半径为R,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练4如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测逻辑推理、数学运算在求体积中的体现
典例如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( )答案:A 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法点睛逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( )答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是 .?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14 cm3,则该棱台的高为 .?答案:2 cm
