第十一章立体几何初步
11.2 平面的基本事实与推论
课后篇巩固提升
基础巩固
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线 B.一点和一条直线
C.一个三角形 D.三个点
答案C
2.
如图所示,下列符号表示错误的是 ( )
A.l∈α B.P?l C.l?α D.P∈α
解析观察图知:P?l,P∈α,l?α,则l∈α是错误的.
答案A
3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
解析应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.
答案C
4.(多选题)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题不正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3,l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面
解析对于A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A错;
对于B,∵l1⊥l2,∴l1,l2所成的角是90°,又∵l2∥l3,∴l1,l3所成的角是90°,∴l1⊥l3,B对;
对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错;
对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选ACD.
答案ACD
5.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
解析连接A1C1,AC,由于平面A1C∩平面C1BD=OC1,故有C1,M,O三点共线,C1,M,O,C四点共面,C1,O,A,M四点共面,而D1,D,O,M四点不共面.故选D.
答案D
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )
解析A中无交线;B中不可见线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也不正确.D的画法正确.
答案D
7.
如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于 ( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上都不对
解析由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.故选C.
答案C
8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β= .?
解析因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB,又因为C∈l,l?β,所以C∈β,所以AB∩β=C.
答案C
9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 .?
解析如图,这4条直线每2条直线确定1个平面,共确定的平面的个数是6.
答案6
10.下列命题中,不正确的是 (填序号).?
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
解析三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确.
答案②③
11.
已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .?
(2)点A与平面α: .?
(3)直线AB与平面α: .?
(4)直线CD与平面α: .?
(5)平面α与平面β: .?
答案(1)C?β (2)A?α (3)AB∩α=B (4)CD?α
(5)α∩β=BD
12.
如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.
证明∵AB∥CD,∴AB,CD共面,设为平面β,
∴AC在平面β内,即E在平面β内.
而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,
可知B,D,E为平面α与平面β的公共点,
根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.
能力提升
1.下列命题正确的是( )
A.两个平面如果有公共点,那么一定相交
B.两个平面的公共点一定共线
C.两个平面有3个公共点一定重合
D.过空间任意三点,一定有一个平面
解析如果两个平面重合,则排除A、B;两个平面相交,则有一条交线,交线上任取3个点都是两个平面的公共点,故排除C;而D中的三点不论共线还是不共线,则一定能找到一个平面过这3个点.故选D.
答案D
2.下列四个命题:
(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
(2)两条直线可以确定一个平面;
(3)若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
(4)空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析(1)错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合;
(2)错,两条异面直线不能确定一个平面;
(3)对;
(4)错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内.
答案A
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l?α,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
解析若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α,由平面的基本事实2,可得A正确;
由平面的基本事实2,知AB?α,AB?β,即α∩β=AB,可得B正确;
若l?α,A∈l,则A∈α或A?α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本事实1和过A,B,C确定一平面且与α,β重合,可得D正确.故选ABD.
答案ABD
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a?α,∴①错;
a∩β=P时,②错;如图,
∵a∥b,P∈b,∴P?a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b?α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选D.
答案D
5.
如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.?
解析若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.
答案AC
6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (把正确图形的序号都填上).?
解析图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确.分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,②④中四点均不共面.
答案①③
7.
如图所示,设E,F,G,H,P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的中点,求证:E,F,G,H,P,Q共面.
证明连接EF,QG,A1C1,EH,FG.
因为E,F,Q,G分别是A1D1,D1C1,A1A,C1C的中点,
所以EF∥A1C1∥QG,同理可证FG∥EH.
设E,F,Q,G确定平面α,F,G,E,H确定平面β,由于α与β都经过不共线的三点E,F,G,所以α与β重合,即E,F,G,H,Q五点共面,同理可证E,F,G,P,Q五点共面,
所以E,F,G,H,P,Q共面.
8.如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.
因为PQ?平面PQR,
所以M∈平面PQR.
又因为M∈直线CB,CB?平面BCD,
所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.
同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线.
课件35张PPT。11.2 平面的基本事实与推论一、点、线、面之间的位置关系及表示
1.思考
(1)“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗?
提示:不对,直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交.
(2)若A∈a,a?α,是否可以推出A∈α?
提示:根据直线在平面内定义可知,若A∈a,a?α,则A∈α.2.填空 3.做一做
如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写:(1)A∈α,B∈α,E∈α,C?α,D?α.
(2)α∩β=AB.
(3)A∈β,B∈β,C∈β,D∈β,E?β,F?β.
(4)AB?α,AB?β,CD?α,CD?β,BF?α,BF?β.二、平面的基本事实
1.思考
(1)经过空间中的三点,能作出几个平面?
提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过这三点作出唯一的一个平面.
(2)两个平面的交线可能是一条线段吗?
提示:不可能.由基本事实3知,两个平面若相交,则它们的交线有且只有一条.2. 3.做一做
(1)如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么( )
A.l?α B.l?α C.l∩α=M D.l∩α=N
解析:因为M∈a,N∈b,a?α,b?α,所以M∈α,N∈α,根据基本事实1可知l?α.故选A.
答案:A
(2)若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( )
A.1个 B.2个
C.1个或无数个 D.无数个且在同一条直线上
解析:利用基本事实3可知若两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.
答案:D(3)已知直线m?平面α,P?m,Q∈m,则( )
A.P?α,Q∈α B.P∈α,Q?α
C.P?α,Q?α D.Q∈α
解析:∵Q∈m,m?α,∴Q∈α.
∵P?m,∴有可能P∈α,也可能有P?α.
答案:D三、平面基本事实的推论
1.思考
(1)对于基本事实1及平面基本事实的三个推论你是怎样理解的?
提示:基本事实①和平面基本事实的三个推论可作为确定平面的依据,还可作为判定两个平面重合的依据.“确定”和“有且只有一个”是同义词.“有”说明存在性,“只有一个”说明唯一性.
(2)经过空间任意两条直线能确定一个平面吗?
提示:不一定.只有经过空间两条相交或平行的直线才能确定一个平面.2.填空 3.做一做
(1)三点可确定平面的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.1或无数个
解析:当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.
答案:D
(2)三条直线两两相交,可确定平面的是 个.?
解析:当三条直线共点时可确定三个或一个,当三条直线不共点时可确定一个平面.
答案:一或三探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析文字、图形、符号三种语言的转化
例1用符号语言和文字语言分别表示下面的图形.解:符号语言:l?α,m∩α=M,M?l.
文字语言:直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点M,点M不在直线l上.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析变式训练1用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是点,a,b,m是直线,α,β是平面):
α∩β=m,a?α,b?β,a∩m=P,b∩m=P.解:用文字语言表示为:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b相交,且交点P在平面α,β的交线m上.图形如图所示(画法不唯一).探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析证明多线共面问题
例2求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么这四条直线共面.
证明:如图所示,
因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面,
设为α.
因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l?α.
因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l?β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析变式训练2过直线l外一点P,引两条直线PA,PB和直线l分别交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
证明:如图所示,∵PA∩PB=P,
∴过PA,PB确定一个平面α.∴A∈α,B∈α.
∵A∈l,B∈l,∴l?α.
∴PA,PB,l共面.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析证明多点共线问题
例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知:
点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析反思感悟证明:点线共面的常用方法
(1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平面内,其中第一步要应用基本事实1,第二步要应用基本事实2.
(2)重合法:应用基本事实2,先由部分元素分别确定平面,然后应用基本事1证明这几个平面重合.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.
证明:由AA1∥CC1,则AA1与CC1确定一个平面A1C.
∵A1C?平面A1C,而O∈A1C,∴O∈平面A1C.
又A1C∩平面BC1D=O,
∴O∈平面BC1D.
∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上.
又AC∩BD=M,∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C,
∴平面A1C∩平面BC1D=C1M,
∴O∈C1M,即C1,O,M三点共线.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析证明三线共点问题
例4(1)在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点E,F,G,H,若EH,FG所在直线相交于点P,则 ( )
A.点P必在直线AC上
B.点P必在直线BD上
C.点P必在平面BCD外
D.点P必在平面ABC内答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析(2)如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:EF,GH,BD交于一点.解:如图可知,平面ABD∩平面BCD=BD.
所以FH∥GE且GH,EF交于点O.
因为GH?平面ABD,O∈GH.
所以O∈平面ABD.
因为EF?平面BCD,O∈EF,
所以O∈平面BCD.所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析反思感悟证明:三线共点的常用方法
先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析延伸探究(1)例4(2)中将证明EF,GH,BD交于一点改为判断E,F,G,H四点是否共面并证明.
(2)例4(2)中如果将条件改为在AB,BC,CD,DA上分别取点G,E,F,H并且满足GH与EF相交于一点O,结论如何?
解:(1)因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,
所以FH∥AC且FH= AC,
因为点E,G分别为BC,AB的中点,
所以GE∥AC且GE= AC,故GE∥HF且GE≠HF,
所以E,F,G,H四点共面且组成梯形.
(2)EF,GH,BD交于点O.
证明:因为GH与EF相交于一点O,GH在平面ABD内,EF在平面BCD内,所以O在两平面的交线上,而平面ABD与平面BCD交于直线BD,
所以O在BD上,即EF,GH,BD交于点O.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析交线问题
例5如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点G及直线AC;
(2)过三点E,F,D1.分析找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.
(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析反思感悟1.画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共点的连线即是.在找公共点的过程中往往要借助于基本事实2和基本事实3.
2.还要注意:(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线.
(2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析分类讨论思想的应用
典例三个平面将空间分成几部分?请画出图形.
分析平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况介入,分类解决.
解:(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时,将空间分成4部分,如图①所示.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析(2)当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交(即α∥β,γ与其相交)时,将空间分成6部分,如图②所示.(3)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合时,将空间分成6部分,如图③所示.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析(4)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线共点,但互不重合时,将空间分成8部分,如图④所示. (5)当平面α、平面β、平面γ两两相交,且三条交线平行时,将空间分成7部分,如图⑤所示.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析1.点P在直线l上,而直线l在平面α内,用符号表示为 ( )
A.P?l?α B.P∈l∈α
C.P?l∈α D.P∈l?α
解析:点与线之间是元素与集合的关系,用∈表示;
线与面之间是集合与集合的关系,用?表示.
答案:D探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析2.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点,a表示直线,α,β表示平面):
①∵A∈α,B∈α,∴AB∈α;
②∵A∈α,A∈β,∴α∩β=A;
③∵A?α,a?α,∴A?a;
④∵A∈a,a?α,∴A?α.
其中命题和叙述方法都正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:③正确.①错,其中的AB∈α应为AB?α.②错,其中α,β应该交于一条过A点的直线.④错,因为点A可能是直线a与平面α的交点.
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析3.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定 个平面.?
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定 个平面.?
解析:(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
答案:(1)4 (2)7探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列叙述正确的是 .(只填序号)?
①直线AC1?平面CC1B1B;
②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1;
③点A,O,C只能确定一个平面;
④由点A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;
⑤由点A,C1,B1确定的平面和由点A,C1,
D确定的平面是同一平面.答案:②④⑤ 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析思维辨析5.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)一点和一条直线确定一个平面;
(2)经过一点的两条直线确定一个平面;
(3)两两相交的三条直线确定一个平面;
(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内.
解:(1)不正确.如果点在直线上,这时有无数个平面;
(2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,有唯一一个平面.
(3)不正确.三条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,可以确定1个或3个平面.
(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第四点不一定在此平面内,因此,这四条线段不一定在同一平面内.
