第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.2 直线与平面平行
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.b?平面α
B.b∥α或b?α
C.b∥平面α
D.b与平面α相交或b∥平面α
解析b与α相交,可确定一个平面β,若β与α平行,则b∥α;若β与α不平行,则b与α相交.
答案D
2.(多选题)下列四个命题中正确的是( )
A.如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行
B.过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
D.过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行
解析如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行或相交,故A错误,B正确,C正确;
过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行,可能与其中一条平行,经过另一条直线,故D错误.故选BC.
答案BC
3.圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.在平面内 D.不确定
解析圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点,则它们平行.故选A.
答案A
4.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析如图正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行.故选D.
答案D
5.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析如图,由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.故选C.
答案C
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析由长方体性质知,EF∥平面ABCD,
∵EF?平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,
∴EF∥GH,又∵EF∥AB,∴GH∥AB.故选A.
答案A
7.下列说法正确的个数是 .?
(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等,则l∥平面α;
(2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行;
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
解析直线l与平面α相交时,直线l上也有两个点到平面α的距离相等,故(1)不正确;若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线可能平行也可能异面,故(2)不正确;(3)不正确,因为另一直线也可以在这个平面内.
答案0
8.如图所示的四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是 .(填序号)?
解析本题考查空间直线与平面平行的判定.①中,记点B正上方的顶点为C,连接AC,则易证平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP;④中AB∥NP,根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP;②③中,AB均与平面MNP相交.
答案①④
9.
如图所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .?
解析连接AM并延长,交CD于点E,连接BN,并延长交CD于点F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由EMMA=ENNB=12,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案平面ABC、平面ABD
10.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.
证明如图,取A1B1的中点为F1.连接FF1,C1F1.
由于FF1∥BB1∥CC1,
所以F1∈平面FCC1.
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连接A1D,F1C,由于A1F1??D1C1??DC,
所以四边形A1DCF1为平行四边形,
因此,A1D∥F1C.
又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.
而EE1?平面FCC1,F1C?平面FCC1.
故EE1∥平面FCC1.
能力提升
1.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中两个为条件,余下的一个为结论,可构成三个命题:①②?③,②③?①,①③?②,其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析本题考查线线平行与线面平行的判定和相互转化.m?α,n?α,m∥n,m∥α?n∥α,即①②?③;同理可得①③?②;由m∥α且n∥α,显然推不出m∥n,所以②③①.所以正确命题的个数为2,故选C.
答案C
2.下列命题:
①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行;
②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行;
③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行.
其中正确命题的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析①直线不在平面内,可能直线与平面相交,只有②正确.③中直线与某些直线异面.故选B.
答案B
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.在平面内 D.异面
解析如图,由AEEB=CFFB,得AC∥EF.
又EF?平面DEF,AC?平面DEF,
∴AC∥平面DEF.故选A.
答案A
4.
有一正方体木块如图所示,点P在平面A'B'C'D'内,棱BC平行于平面A'B'C'D',要经过P和棱BC将木料锯开,锯开的面必须平整,有N种锯法,则N为( )
A.0 B.1 C.2 D.无数
解析∵BC∥平面A'B'C'D',∴BC∥B'C',
在平面A'C'上过点P作EF∥B'C',则EF∥BC,
∴沿EF,BC所确定的平面锯开即可.
又由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选B.
答案B
5.
(多选题)如图,平面α与平面β交于直线l,A,C是平面α内不同的两点,B,D是平面β内不同的两点,且点A,B,C,D不在直线l上,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列说法中正确的是( )
A.若AB,CD是异面直线,则不存在异于AB,CD的直线同时与直线AC,MN,BD都相交
B.若AB与CD相交,且直线AC平行于l时,则直线BD与l也平行
C.若AB,CD是异面直线时,则直线MN可能与l平行
D.M,N两点可能重合,但此时直线AC与l不可能相交
解析对于A,若AB,CD是异面直线,则存在异于AB,CD的直线同时与直线AC,MN,BD都相交,故A错误;
对于B,因为AB与CD相交,则ABCD四点共面于平面γ,且γ∩β=BD,γ∩α=AC,
由AC∥l,可得AC∥β,由线面平行的性质可得AC∥BD,进而可得BD∥l,故B正确;
对于C,当AB,CD是异面直线时,MN不可能与l平行,过M作CD的平行线EF,分别交α,β于点E,F,可得M为EF中点,可得△BMF≌△AME,可得AE∥BF,显然与题设矛盾,故C错误;
对于D,若M,N两点可能重合,则AC∥BD,故AC∥l,故此时直线AC与直线l不可能相交,故D正确.故选BD.
答案BD
6.
如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
解析∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,
∴A1D1∥E1F1,又A1D1?平面BCF1E1,E1F1?平面BCF1E1,∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点,
∴A1E1??BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,
∴A1E∥BE1,
又A1E?平面BCF1E1,BE1?平面BCF1E1,
∴A1E∥平面BCF1E1,
又A1E?平面EFD1A1,A1D1?平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.故选A.
答案A
7.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的有 条.?
解析如图,DD1,EE1,DE,D1E1,DE1,ED1都平行于面ABB1A1.
答案6
8.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=a3,过点P,M,N的平面与棱CD交于点Q,则PQ= .?
解析∵MN∥平面ABCD,平面PMN∩平面ABCD=PQ,MN?平面PMN,∴MN∥PQ.
易知DP=DQ=23a,故PQ=2×23a=223a.
答案223a
9.
如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件 时,就有MN∥平面B1BDD1,其中N是BC的中点.(填上一个正确的条件即可,不必考虑全部可能的情况)?
解析∵H,N分别是CD和CB的中点,连接HN,BD,易知BD∥HN.
又BD?平面B1BDD1,HN?平面B1BDD1,
故HN∥平面B1BDD1,
故不妨取M点与H点重合便符合题意.
答案M与H重合(答案不唯一,又如M∈FH)
10.
如图所示,已知P是?ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
(1)证明因为BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.
(2)解平行.取PD的中点E,连接AE,NE,可以证得NE∥AM且NE=AM.
可知四边形AMNE为平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为MN?平面APD,AE?平面APD,
所以MN∥平面APD.
11.
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点,当A1D1D1C1等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
解A1D1D1C1=1.证明如下,如图所示,此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
∴OD1∥BC1.
又∵OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当A1D1D1C1=1时,BC1∥平面AB1D1.
课件24张PPT。11.3.2 直线与平面平行一、直线与平面平行的判定定理
1.思考
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行吗?
提示:当直线在平面内时该结论错误.
(2)门扇的竖直两边是平行的,当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭,不论转动到什么位置,它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系.
问题1:上述问题中存在着不变的位置关系是指什么?
提示:直线与平面平行.
问题2:若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗?
提示:可以,只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可.
问题3:若一条直线与平面内的直线平行,一定有该直线与平面平行吗?
提示:不一定,要强调直线在平面外.2.填空 3.做一做
(1)如下图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
①与直线CD平行的平面是 ;?
②与直线CC'平行的平面是 ;?
③与直线BC平行的平面是 .?答案:①平面A'B'C'D',平面A'ABB'
②平面A'ABB',平面A'ADD'
③平面A'ADD',平面A'B'C'D'(2)一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过程中,AB的对边CD与平面α的位置关系是 .?
解析:在旋转过程中CD∥AB,由直线与平面平行的判定定理得CD∥α,或CD?α.
答案:CD∥α,或CD?α(3)如图所示,E,F分别为三棱锥A-BCD的棱BC,BA上的点,且BE∶BC=BF∶BA=1∶3.求证:EF∥平面ACD. 证明: ∵BE∶BC=BF∶BA=1∶3,∴EF∥AC.
又EF?平面ACD,AC?平面ACD,
∴EF∥平面ACD.二、直线与平面平行的性质定理
1.思考
(1)若直线a∥平面α,则直线a平行于平面α内的任意一条直线吗?
提示:不对.如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥平面A1B1C1D1,但AB与A1D1不平行.
(2)若直线a与平面α不平行,则直线a就与平面α内的任一直线都不平行,对吗?
提示:不对.若直线a与平面α不平行,则直线a与平面α相交或a?α.当a?α时,α内有无数条直线与直线a平行.2.填空 3.做一做
(1)如果直线a∥平面α,b?α,那么a与b的关系是 ( )
A.相交 B.平行或异面
C.平行 D.异面
答案:B
(2)直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A.0条 B.1条
C.0或1条 D.无数条
答案:C(3)如图所示,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.求证:AC=BD.证明:如图所示,连接CD.
∵AC∥BD,
∴AC与BD确定一个平面β,
又∵AB∥α,AB?β,α∩β=CD,
∴AB∥CD.
∴四边形ABDC是平行四边形.
∴AC=BD.探究一探究二探究三当堂检测直线与平面平行的判定
例1S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上证明:如图所示,连接AN并延长交BC于点P,连接SP.
因为AD∥BC.又MN?平面SBC,SP?平面SBC,
所以MN∥平面SBC.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).
(2)判定定理法:a?α,b?α,a∥b?a∥α.
(3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.2.证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质.
(2)利用平行四边形的性质.
(3)利用平行线分线段成比例定理.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在四面体A-BCD中,M,N分别是△ABD和△BCD的重心,求证:MN∥平面ADC.
证明:如图所示,连接BM,BN并延长,分别交AD,DC于P,Q两点,连接PQ.
因为M,N分别是△ABD和△BCD的重心,
所以BM∶MP=BN∶NQ=2∶1.
所以MN∥PQ.
又因为MN?平面ADC,PQ?平面ADC,
所以MN∥平面ADC.探究一探究二探究三当堂检测直线与平面平行的性质定理的应用
例2(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,若CM∶MA=1∶4,则CN∶NP= ,MN与平面PAB的位置关系是 .?解析:由MN∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA,
∴MN∥PA,∴CN∶NP=CM∶MA=1∶4,
又PA?平面PAB,MN?平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
答案:1∶4 MN∥平面PAB探究一探究二探究三当堂检测(2)如图,已知AB与CD是异面直线,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:因为AB∥平面α,AB?平面ABC,
平面ABC∩平面α=EH,所以AB∥EH,
因为AB∥平面α,AB?平面ABD,平面ABD∩平面α=FG,所以AB∥FG,所以EH∥FG,
同理由CD∥平面α可证EF∥GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例2(2)中若添加条件AB=CD,能否得出四边形EFGH为菱形?因为AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE,
由题意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出EFGH为菱形.探究一探究二探究三当堂检测线面平行性质定理在探索性问题中的应用
例3已知在正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'.试判断D点在AA'上的位置,并给出证明.证明:D点为AA'的中点.证明如下:
取BC的中点F,连接AF,EF,
设EF与BC'交于点O,连接OD,
易证A'E∥AF,A'E=AF.
易知A',E,F,A共面于平面A'EFA,
因为A'E∥平面DBC',A'E?平面A'EFA,
且平面DBC'∩平面A'EFA=DO,
所以A'E∥DO.
在平行四边形A'EFA中,
因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF),
所以D点为AA'的中点.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟解答与平行有关的探索性题目的方法与步骤
(1)有中点这一条件时,一般试探性地以中点为基础作辅助线或面,然后再证明是否满足条件.
(2)关于平行的性质定理是作证明和计算的理论依据.
(3)一般步骤:取点、连线、成形→探索论证→计算(作答).探究一探究二探究三当堂检测变式训练2如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.探究一探究二探究三当堂检测证明:直线l∥平面PAC,证明如下:
因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.
又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,
所以EF∥l.
因为l?平面PAC,EF?平面PAC,
所以l∥平面PAC.探究一探究二探究三当堂检测1.已知直线l∥平面α,l?平面β,α∩β=m,则直线l,m的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或异面
解析:由直线与平面平行的性质定理知l∥m.
答案:B探究一探究二探究三当堂检测2.直线l是平面α外的一条直线,下列条件中可能推出l∥α的是( )
A.l与α内的一条直线不相交
B.l与α内的两条直线不相交
C.l与α内的无数条直线不相交
D.l与α内的任意一条直线不相交
解析:由线面平行的定义知直线l与平面α无公共点,则l与α内的任意一条直线不相交.
答案:D3.(多选题)已知直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a,b的位置关系可能是( )
A.平行 B.异面
C.相交 D.以上都不对
答案:ABC探究一探究二探究三当堂检测4.如图所示,直线a∥平面α,A?α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF= .?探究一探究二探究三当堂检测5.如图,在三棱锥P-ABC中,点O,D分别是AC,PC的中点.
求证:OD∥平面PAB.证明:在△ACP中,∵O为AC的中点,D为PC的中点,∴OD∥AP.
∵OD?平面PAB,AP?平面PAB,
∴OD∥平面PAB.
