第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行
课后篇巩固提升
基础巩固
1.直线l∥平面α,直线m∥平面α,若l∩m=P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.重合 D.不能确定
解析∵l∥α,m∥α,l∩m=P,又l?β,m?β,∴α∥β.
答案B
2.(多选题)下列命题不正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
解析若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;
设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由空间直线平行传递性知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故C正确;
若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,D错误.故选ABD.
答案ABD
3.已知直线a,b,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.若a∥α,b∥a,则b∥α
B.若a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α
C.若α∥β,b∥α,则b∥β
D.若α∥β,a?α,则a∥β
解析本题考查线面、面面平行的判定和性质.若a∥α,b∥a,则b∥α或b?α,故A错误;由面面平行的判定定理知B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b?β,故C错误.故选D.
答案D
4.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:
①a∥cb∥c?a∥b;②a∥γb∥γ?a∥b;③c∥αc∥β?α∥β;
④α∥γβ∥γ?α∥β;⑤c∥αa∥c?a∥α;⑥α∥βa∥β?a∥α.
其中正确的命题是( )
A.②③ B.①④⑤ C.①④ D.①③④
解析本题考查直线、平面的平行.由空间平行线的传递性,知①正确;②错误,a,b可能相交、平行或异面;③错误,α与β可能相交;由面面平行的传递性,知④正确;⑤⑥错误,a可能在α内.故选C.
答案C
5.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
解析如图易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.
又E1G1∩G1F=G1,E1G1,G1F?平面E1FG1.
所以平面E1FG1∥平面EGH1.即选项A符合,其他都相交.故选A.
答案A
6.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是( )
A.矩形
B.菱形
C.平行四边形
D.正方形
解析因为平面和左右两个侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.故选C.
答案C
7.下列说法正确的是( )
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
D.若三直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行
解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错;B正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,不正确;D不正确,因为过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行.故选B.
答案B
8.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是 .?
解析由直观想象易知这两个平面的位置关系是平行或相交.
答案平行或相交
9.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .?
解析因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
答案l∥A1C1
10.如图,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是其四边上的点且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当EFGH是菱形时,AEEB= .?
解析AEEB=CFBF=FGn-FG=m-EFEF,而EF=FG,
∴EF=mnm+n,∴AEEB=m-EFEF=mn.
答案mn
11.
如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
∴MQ∥AD,NQ∥BP.
∵BP?平面PBC,NQ?平面PBC,
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD,∴MQ∥BC.
∵BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ=Q,
根据平面与平面平行的判定定理,
得平面MNQ∥平面PBC.
能力提升
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面BA1C1与直线AC的位置关系是( )
A.AC∥截面BA1C1 B.AC与截面BA1C1相交
C.AC在截面BA1C1内 D.以上答案都错误
解析∵AC∥A1C1,又∵AC?面BA1C1,∴AC∥面BA1C1.
答案A
2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论A,B如何移动都共面
解析由面面平行的性质,不论A,B如何运动,动点C均在过点C且与α,β都平行的平面上.
答案D
3.
在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列直线与平面AD'C平行的是( )
A.DD'
B.A'B
C.C'D'
D.BB'
解析∵A'B∥CD',∴A'B∥平面AD'C.
答案B
4.
如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB的中点,所以OM是中位线,OM∥PD,则OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.①②③正确,④⑤不正确.故选C.
答案C
5.
如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
解析∵A1B1∥AB,AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.
又A1B1?平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1,∴DE∥AB.
答案B
6.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若S△A'B'C'S△ABC=949,则PA'AA'=( )
A.43 B.349
C.78 D.34
解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',S△A'B'C'S△ABC=A'B'AB2=PA'PA2=949,所以PA'AA'=34,故选D.
答案D
7.已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,已知AB=6,DEDF=25,则AC= .?
解析∵α∥β∥γ,∴ABBC=DEEF.由DEDF=25,得DEEF=23,
∴ABBC=23.∴AB=6,∴BC=9,∴AC=AB+BC=15.
答案15
8.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.
则在四棱锥P-ABCD中,AP与平面EFG的位置关系为 .?
解析在四棱锥P-ABCD中,
∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.
∵AB∥CD,∴EF∥AB.
∵EF?平面PAB,AB?平面PAB,
∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP?平面PAB,AP?平面EFG,
∴AP∥平面EFG.
答案平行
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是 .直线MD与平面BCC1B1的位置关系是 .?
解析因为M是A1D1的中点,所以直线DM与直线AA1相交,所以DM与平面A1ACC1有一个公共点,所以DM与平面A1ACC1相交.
取B1C1中点M1,MM1??C1D1,C1D1??CD,
∴四边形DMM1C为平行四边形,∴DM??CM1,
∴DM∥平面BCC1B1.
答案相交 平行
10.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.
证明证法一:如图,作ME∥BC交B1B于点E,作NF∥AD交AB于点F,连接EF,
则EF?平面AA1B1B.
∴MEBC=B1MB1C,NFAD=BNBD.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,
∴B1M=BN.
又∵B1M=BN,
又∵B1C=BD,
∴MEBC=BNBD=NFAD.∴ME=NF.
又ME∥BC∥AD∥NF,
∴四边形MEFN为平行四边形.
∴MN∥EF,∴MN∥平面AA1B1B.
证法二:如图,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P.
则B1P?平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP,∴DNNB=CNNP.
又CM=DN,B1C=BD,∴CMMB1=DNNB=CNNP.
∴MN∥B1P.
∵B1P?平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.
11.
如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.
解当点F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.
证明:取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.
∵FM?平面AEC,CE?平面AEC,
∴FM∥平面AEC,由EM=12PE=ED,得E是MD的中点.
连接BM,BD,设BD∩AC=O,
则O是BD的中点,所以BM∥OE.
∵BM?平面AEC,OE?平面AEC,
∴BM∥平面AEC.
∵FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.
又BF?平面BFM,∴BF∥平面AEC.
课件35张PPT。11.3.3 平面与平面平行一、平面与平面的位置关系
1.思考
一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行吗?
提示:不一定,这无数条直线可能全部平行.举反例如下图:2.填空 3.做一做
(1)点P是平面α外一点,过点P且平行于平面α的平面有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
答案:B
(2)(多选题)若平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β,那么直线a,b的位置关系可能是( )
A.平行 B.异面
C.相交 D.以上都不对
解析:直线a,b可以是平面α,β内的任意两条直线,它们可以平行,也可以异面,但不可能相交,故选AB.
答案:AB二、两个平面平行
1.思考
(1)两个平面平行,则这两个平面内的所有直线一定互相平行吗?
提示:不一定.也可能是异面直线,但可以肯定它们不相交.
(2)如何判断桌子的桌面是否水平?工人师傅将水平仪放在桌子上交叉放置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就能判断桌面是水平的(注:当水平仪的气泡居中时,水平仪所在的直线就是水平线),否则桌面就不是水平的,这是为什么呢?
问题1:上述问题中给出了一种怎样判断两平面平行的方法?
提示:在一个平面内找两条相交线,分别平行于另一个平面即可.
问题2:若一个平面内有两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行吗?
提示:不一定,也可能相交.
问题3:若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行吗?
提示:不一定,也可能相交.2.填空 答案:没有公共点 有两条相交 有两条相交直线 两条直线 相交3.做一做
(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1D1平行的平面是( )
A.平面BCD
B.平面BCC1
C.平面BDC1
D.平面CDC1
答案:C(2)在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形.则平面ABC与平面A1B1C1平行吗? (填“是”或“否”).?答案:是 三、三个平面平行的性质
1.思考
2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象,作为东道主的中国国家馆被永久保留,成为上海市的又一标志性建筑.中国国家馆表达了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神与气质,展馆共分三层,这三层给人以平行平面的感觉.问题1:展馆的每两层所在的平面平行,那么上层面上任一直线状物体与下层面有何位置关系?
提示:平行.
问题2:上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系?
提示:平行或异面.
问题3:上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交,它们的交线是什么位置关系?
提示:平行.2.填空
两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段 .?
答案:成比例3.做一做
(1)判断正误.
①如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面. ( )
②夹在两个平行平面间的平行线段相等. ( )
③经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. ( )
④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. ( )
⑤平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性). ( )
⑥如果三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,且平面δ与这三个平面相交,交线分别为a,b,c,则有a∥b∥c成立. ( )
答案:①√ ②√ ③√ ④√ ⑤√ ⑥√(2)平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.平行或异面
答案:C
(3)如图所示,已知平面α∥平面β,A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC.求证:AD=BC.证明:∵AD∥BC,∴AD与BC确定一个平面γ.
∵α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测平面与平面平行的判定定理
例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点.
求证:平面A1BD1∥平面AC1D.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测证明:如图所示,连接A1C交AC1于点E,
因为四边形A1ACC1是平行四边形,
所以E是A1C的中点,连接ED,
因为A1B∥平面AC1D,
平面A1BC∩平面AC1D=ED,
所以A1B∥ED.
因为E是A1C的中点,所以D是BC的中点.
又因为D1是B1C1的中点,
所以BD1∥C1D,A1D1∥AD.
又A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:平面MNQ∥平面PBC.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测证明:在△PAD中,
∵PM∶MA=PQ∶QD,
∴MQ∥AD.又AD∥BC,
∴MQ∥BC.
∵MQ?平面PBC,BC?平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.
在△PBD中,∵BN∶ND=PQ∶QD,
∴NQ∥PB.∵NQ?平面PBC,PB?平面PBC,
∴NQ∥平面PBC.
∵MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PBC.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测平面与平面平行的性质定理
例2(1)如图,已知平面α∥β,P?α且P?β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD= .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解: ∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',
平面PAB∩平面ABC=AB,
∴A'B'∥AB.同理可证B'C'∥BC,A'C'∥AC.
∴∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,
∠A'C'B'=∠ACB,
∴△A'B'C'∽△ABC.
∵PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5,
∴A'B'∶AB=2∶5.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究(1)将本例2(1)改为:若点P位于平面α,β之间(如图),其他条件不变,试求BD的长.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探索型问题
例3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:存在.点Q在底面ABCD的中位线GH上,理由如下:
取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.
因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FG∥PA.
因为FG?平面PAB,PA?平面PAB,
所以FG∥平面PAB.
因为AB∥CD,EF∥CD,所以EF∥AB,
而EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
因为EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD,所以点Q∈GH.
所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解探索型问题常用策略
(1)(条件探索型)所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探索,或条件增删需确定,或条件正误需判断.
(2)(结论探索型)先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情况去证明结论.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.
∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.
而PO?平面PAO,PA?平面PAO,PO∩PA=P,D1B?平面D1BQ,QB?平面D1BQ,D1B∩QB=B,
∴平面D1BQ∥平面PAO.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测要注意将立体问题向平面问题转化
典例如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点.求证四边形BED1F是平行四边形.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测证明:取D1D的中点G,连接EG,GC,
∵E是A1A的中点,G是D1D的中点,∴EG??AD.
由正方体性质知AD??BC,∴EG??BC.
∴四边形EGCB是平行四边形,∴EB??GC.①
又∵G,F分别是D1D,C1C的中点,∴D1G??FC.
∴四边形D1GCF为平行四边形,∴D1F??GC.②
由①②知EB??D1F,
∴四边形BED1F是平行四边形.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解决,正确的解题思路是将立体几何问题转化为平面几何问题再证明,不能凭想当然将平面几何中的结论或性质随意推广到立体几何中来.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.(多选题)下列说法中,正确的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交
解析:平行于同一直线的两个平面有可能相交,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面A1ABB1都与C1D1平行,但平面ABCD与平面A1ABB1相交.B,C,D正确.
答案:BCD探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.若α∥β,a?α,下列四个命题中正确的是( )
①a与β内所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点.
A.①② B.②③④ C.②③ D.①③④
解析:由性质知①错误;由定义知②正确;由定义知③正确;由定义知④正确,故选B.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.如图是正方体的平面展开图:
在这个正方体中,①BM∥平面ADE;②CN∥平面BAF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上说法正确的是 (填序号).?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:以ABCD为下底还原正方体,如图所示,
则易判定四个说法都正确.答案:①②③④ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为 .?
解析:若a?β,则显然满足题目条件;
若a?β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a?β,c?β,所以a∥β.
答案:a?β或a∥β探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.已知三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.求证:平面DEF∥平面ABC.证明:如图所示,
在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,
所以DE∥AB.
又AB?平面ABC,DE?平面ABC,
因此DE∥平面ABC.
同理,EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC.
