第十一章立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
课后篇巩固提升
基础巩固
1.
如图所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析因为PA⊥平面ABCBC?平面ABC?PA⊥BCAC⊥BCPA?AC=A?BC⊥平面PAC
?BC⊥PC,
所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故选A.
答案A
2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是( )
A.5 B.25 C.35 D.45
解析由题PB=PC=82+52=89,则P到BC的距离d=PB2-12BC2,即pd=89-9=45.
答案D
3.下列命题中,正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.
②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.
③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面.
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析②③④⑤正确,①中当这两条直线平行时,可能直线平行平面或在平面内.
答案C
4.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是( )
A.(0°,90°) B.[0°,90°]
C.(0°,90°] D.[0°,180°]
解析由线面角的定义知B正确.
答案B
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.6
解析仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线AA1垂直.
答案B
6.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于( )
A.40° B.50° C.90° D.150°
解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.
答案B
7.
(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 ( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
解析∵BD∥B1D1,A正确;
∵AC⊥BD,BD⊥CC1,∴BD⊥面ACC1,得BD⊥AC1,知B正确;
由AC1⊥BD,∴AC1⊥B1D1.
又B1C⊥BC1,B1C⊥AB,得B1C⊥平面ABC,
∴B1C⊥AC1,得AC⊥平面CB1D1,故C正确;
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°.故选ABC.
答案ABC
8.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为 .?
解析取AC中点E,连BE,DE.
由AB=BC,得AC⊥BE.
同理AC⊥DE,
所以AC⊥面BED.
因此,AC⊥BD.
答案垂直
9.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是 .?
解析由于PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.
又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.
又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.
答案菱形
10.
如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.
(1)则MN与CD1所成的角为 .?
(2)则MN与AD所成的角为 .?
解析(1)由图易知MN∥AD1,
∵△ACD1构成正三角形.
∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.
(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,
∴MN与AD成45°角.
答案(1)60° (2)45°
11.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为 .?
解析如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,
则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,
四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4.
答案4
12.
如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD,点E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.
证明取AB的中点F,连接CF,DF.
∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.
∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.
∵CD?平面CDF,∴AB⊥CD.
又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.
∵AH?平面ABE,∴CD⊥AH.
∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.
能力提升
1.
如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF,则下列结论不正确的是( )
A.CD∥平面PAF
B.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PAB
D.CF⊥平面PAD
解析由CD∥AF得CD∥平面PAF,A正确;
由DF⊥AF,DF⊥PA得B正确;
由CF∥AB得C正确;
∵CF与AD不垂直,∴CF与平面PAD不垂直,得D不正确.
答案D
2.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
解析由AC⊥平面DBB1D1,BE?平面DBB1D1知A正确;由EF?平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正确;由△BEF面积S=12×1×12=14.VA-BEF=13×22×14=224知C正确,D中两三角形以EF为底边,高不等,则面积不等,故D错误.
答案D
3.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD[如图(2)],则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.异面且垂直 D.异面但不垂直
解析在图(1)中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如图(2),AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段均与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC,选C.
答案C
4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列命題中正确的是( )
A.EF⊥B1C
B.BC1∥平面EFG
C.A1C⊥平面EPG
D.异面直线FG,B1C所成角的大小为π4
解析如图,连接AD1,则EF∥AD1∥BC1,
而BC1⊥B1C,则EF⊥B1C,故A正确;
∵BC1∥EF,EF?平面EFG,BC1?平面EFG,∴BC1∥平面EFG,故B正确;
A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,
∴A1C⊥平面EFG,故C正确;
FG∥AB1,∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=π3,即异面直线FG,B1C所成角的大小为π3,故D错误.故选ABC.
答案ABC
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析如图,取BC的中点E,连接AE,则AE⊥平面BCC1B1.
故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.
设各棱长为a,则AE=32a,DE=12a.
∴tan∠ADE=3.∴∠ADE=60°.
答案C
6.
如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
解析∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,
∴PC⊥平面PAB.
又∵AB?平面PAB,∴AB⊥PC.
又∵AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.
又∵CH?平面PCH,∴AB⊥CH.
同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心.
答案C
7.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有 条.?
解析与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
答案1
8.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为 .?
解析如图,设C在平面α内的射影为O点,连结AO,MO,
则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角.
设AC=BC=1,则AB=2,
∴CM=22,CO=12.
∴sin∠CMO=COCM=22,
∴∠CMO=45°.
答案45°
9.△ABC的三个顶点A,B,C到平面α的距离分别为2 cm,3 cm,4 cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为 .?
解析如图,设A,B,C在平面α上的射影分别为A',B',C',△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,
又设E,G在平面α上的射影分别为E',G',
则E'∈A'B',G'∈C'E',EE'=12(A'A+B'B)=52,CC'=4,CG∶GE=2∶1,
在直角梯形EE'C'C中,取GC,G'C'中点H,H',
设GG'=x1,HH'=x2,
则x1=x2+522,x2=x1+42,则x1=3,即可求得GG'=3.
答案3 cm
10.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.
(1)求证:PM⊥平面ABC;
(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.
(1)证明∵PA=PC,M为AC的中点,
∴PM⊥AC. ①
又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴AM=MC=MB=12AC=5.
在△PMB中,PB=13,MB=5.
PM=PC2-MC2=132-52=12.
∴PB2=MB2+PM2,∴PM⊥MB. ②
由①②可知PM⊥平面ABC.
(2)解∵PM⊥平面ABC,
∴MB为BP在平面ABC内的射影,
∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角.
在Rt△PMB中tan∠PBM=PMMB=125.
11.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°.G为线段PC上的点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求PGGC的值.
(1)证明设点O为AC,BD的交点.
由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.
(2)解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角.由题意得OG=12PA=32.
在△ABC中,
因为AB=BC,∠ABC=120°,AO=CO,
所以∠ABO=12∠ABC=60°,
所以AO=OC=AB·sin 60°=3.
在Rt△OCD中,
OD=CD2-OC2=2.
在Rt△OGD中,
tan∠OGD=ODOG=433.
所以DG与平面APC所成角的正切值为433.
(3)解因为PC⊥平面BGD,OG?平面BGD,
所以PC⊥OG.
在Rt△PAC中,PC=(3)2+(23)2=15.
所以GC=AC·OCPC=2155.
从而PG=3155,所以PGGC=32.
课件46张PPT。11.4.1 直线与平面垂直一、直线与直线所成角
1.思考
(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?
提示:不一定.可能相交、平行或异面.
(2)两条垂直的直线必相交吗?
提示:不一定.可能相交垂直,也可能异面垂直.2.填空
一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.
为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,这样一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.
显然,若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.3.做一做
(1)设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条解析:我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.答案:A (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为 .?
解析:设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,
所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.二、直线与平面垂直
1.思考
如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?
提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.2.填空
(1)定义:直线l与平面α垂直,指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直.
(2)充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线都垂直.这可以用符号表示为l⊥α??m?α,l⊥α.
(3)画法:
通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.3.做一做
(1)判断正误.
①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( )
②若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α. ( )
③垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )
④垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( )
⑤垂直于同一个平面的两条直线平行. ( )
⑥垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( )
答案:①√ ②√ ③× ④× ⑤√ ⑥×
(2)直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能 ( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,
又∵m?α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
答案:A三、直线与平面垂直的判定定理与推论
1.思考
(1)世界上的高楼大厦太多了:中国台北的国际金融中心大厦高508米(含天线),马来西亚吉隆坡的国家石油双子星座大厦高451.9米,中国广州的中信广场大厦高391米(如图).问题1:中信广场大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系?
提示:垂直.
问题2:每列玻璃形成的直线是什么位置关系?
提示:平行.(2)垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何?答案:垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA'⊥α,AA'⊥β,求证:α∥β.
证明:如图所示,设经过直线AA'的两个平面γ,δ分别与平面α,β相交于直线b,b'和a,a'.因为AA'⊥α,AA'⊥β,所以AA'⊥a,AA'⊥a'.
AA',a,a'都在平面δ内,由平面几何知识:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.
所以a∥a',所以a'∥α(线面平行的判定定理).
同理b'∥α.又因为a'∩b'=A',所以α∥β.2.填空
(1)判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.
(2)结论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
(3)直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.3.做一做
(1)下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是 ( )
A.①③ B.②
C.②④ D.①②④
解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.
答案:C(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,
∴AA1⊥平面ABCD.
又∵EF⊥平面ABCD,
∴EF∥AA1.四、直线与平面所成的角
1.思考
斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.问题1:图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?
提示:不同.
问题2:能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?
提示:能.
问题3:直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?
提示:能.2.填空
(1)定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线,称C为斜足).
因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.
结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是[0°,90°].3.做一做
(1)如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是( )
A.60° B.45°
C.30° D.120°解析:∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO= ,即∠ABO=60°.
答案:A(2)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于 .?解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案:45°探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测直线与直线所成角
例1如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2 ,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:如图,取AC中点F,连接DF,EF,
在△PAC中,∵D是PC中点,F是AC中点,
∴DF∥PA,同理可得EF∥BC,
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).
在△DEF中,DE=3,∴DE2=DF2+EF2.∴∠DFE=90°,
即异面直线PA与BC所成的角为90°.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1在四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别是BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG.
∵E,F,G分别是BC,AD,BD的中点,∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角,
即∠EGF=30°或150°.
∵AB=CD,∴EG=GF,
故由等腰△EGF知∠GFE=75°或15°.
而由FG∥AB知,∠GFE就是EF和AB所成的角.
从而EF和AB所成的角为75°或15°.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测线面垂直的判定
例2如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,
所以SD⊥AC.
因为AD=BD,又因为SB=SA,SD=SD,
所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD,
AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧
证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理等都是找线线垂直的方法.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,点P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC.?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测线面垂直性质定理的应用
例3如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,垂足分别为F,E.求证:EF∥BD1.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD.
因为DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,
所以AC⊥平面BDD1.
又BD1?平面BDD1,
所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,
所以EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,
所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:(1)MN∥AD1;
(2)M是AB的中点.证明:(1)因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON,在△A1DC中,
A1O=OD,A1N=NC,所以ON∥AM.
又因为MN∥OA,
∴四边形AMNO为平行四边形.
所以ON=AM.所以M是AB的中点. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测线面角
例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.(2)连接A1C1交B1D1于点O,
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1,
又BB1∩B1D1=B1,
∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为点O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,∴∠A1BO=30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟求线面角的方法
求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )解析:∵AA1⊥平面A1B1C1D1,
∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角,
∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3,答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测逻辑推理、数学运算在求解距离中的应用
典例如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.思路分析作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,
所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PA=PB=PC=a,
所以△PAO≌△PBO≌△PCO.
所以OA=OB=OC,所以点O为△ABC的外心.反思感悟求点到平面距离的基本步骤是:(1)找到或作出要求的距离;(2)使所求距离在某一个三角形中;(3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练5在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为 .?
解析:如图所示,连接AE.
因为PA⊥平面ABCD,
BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,
所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.(多选题)直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是( )
A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内 D.l与α相交且不垂直
解析:如图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内或相交不垂直都有可能.故选ABCD.答案:ABCD 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行
B.垂直且相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面☉O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则B到平面PAC的距离为 .?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解析:连接BC,因为 C为圆周上的一点,AB为直径,
所以BC⊥AC.
又因为PA⊥平面☉O,BC?平面☉O,
所以PA⊥BC.
又因为PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,点C为垂足,
所以线段的长度BC即为点B到平面PAC的距离.
在Rt△ABC中,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是 .?解析:连接AC,BD,设AC与BD交于点O.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD.
又∵PC⊥BD,PA∩PC=P,PA?平面PAC,PC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC,∴BD⊥AC,
又ABCD为平行四边形,∴ABCD为菱形.答案:菱形 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)求证:AE⊥平面PCD.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)解:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD.
所以PB在平面PAD内的射影为PA,
即∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中,AB=PA,
故∠APB=45°.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,
所以CD⊥PA.
因为CD⊥AC,PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.
又AE?平面PAC,所以AE⊥CD.
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,
可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.
