第十一章立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直
课后篇巩固提升
基础巩固
1.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a?α,直线b?β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b( )
A.可能垂直,不可能平行
B.可能平行,不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.不可能垂直,也不可能平行
解析若a∥l,b∥l,则a∥b,假设a⊥b,在平面α内,过a上一点P作PM⊥l交l与M,则PM⊥β,∴PM⊥b.又b⊥a,所以b⊥α,得b⊥l,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.
答案B
2.给出以下四种说法:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知③错,①②④正确,故选B.
答案B
3.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥β
C.m∥β和l⊥m D.α∥β和α⊥γ
解析由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.
答案A
4.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是 ( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?β
C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析A与D中α也可与β平行,B中不一定α⊥β,故选C.
答案C
5.下列说法正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③ B.②③ C.②③④ D.④
解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a?β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.④正确.
答案D
6.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为( )
A.53 B.52 C.35 D.25
解析∵三个平面两两垂直,
∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,
∴OP即为对角线,
∴OP=32+42+52=50=52.
答案B
7.下列说法中:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的有( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
解析对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的,故选B.
答案B
8.已知平面α,β和直线m,给出条件:
①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.
(1)当满足条件 时,有m∥β;?
(2)当满足条件 时,有m⊥β.(填所选条件的序号).?
答案③⑤ ②⑤
9.下列四个命题中,正确的序号有 .?
①α∥β,β⊥γ,则α⊥γ; ②α∥β,β∥γ,则α∥γ;
③α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ; ④α⊥β,γ⊥β,则α∥γ.
解析①②正确,③中α,γ也可能平行,④中α,γ也可能相交.
答案①②
10.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
上面命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).?
解析(1)由面面平行的判定定理可得,该命题正确.
(2)由线面平行的判定定理可得,该命题正确.
(3)如图(举反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.
答案(1)(2)
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,二面角C1-BD-C的大小为 .?
解析连接AC交BD于点O,连接C1O,
∵C1D=C1B,O为BD中点,
∴C1O⊥BD,∵AC⊥BD,
∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
在Rt△C1CO中,C1C=2,可以计算C1O=22,
∴sin∠C1OC=C1CC1O=12,∴∠C1OC=30°.
答案30°
12.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.
(1)求证:EF∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
证明(1)连接BD.
在正方体AC1中,对角线BD∥B1D1.
又∵E,F为棱AD,AB的中点,
∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.
又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1,
∴EF∥平面CB1D1.
(2)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1?平面A1B1C1D1,
∴AA1⊥B1D1.
又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,
∴B1D1⊥平面CAA1C1.
又∵B1D1?平面CB1D1,
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
能力提升
1.正方形ABCD的边长为12,PA⊥平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离为( )
A.123 B.122 C.63 D.66
解析如图,连接AC交BD于点O.则PA⊥BD,AO⊥BD.
所以BD⊥平面PAO.
所以PO⊥BD,故PO为P到BD的距离.
在Rt△AOP中,PA=12,AO=62.
所以PO=66.
答案D
2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,
所以∠ADB=∠ABD=45°.
因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.
在题图②中,此关系仍成立.
因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.
因为BA?平面ADB,所以CD⊥AB.
因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.
因为BA?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
答案D
3.
如图,A,B,C,D为空间四点,在Rt△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=( )
A.3 B.2 C.5 D.1
解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,又CE?平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可求得DE=3,CE=1,故在Rt△DEC中,CD=DE2+CE2=2.
答案B
4.(多选题)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
A.若m∥β,n∥β,m,n?α,则α∥β
B.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n?γ,则m⊥n
C.若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么m∥n
D.若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么m∥n
解析由m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,知:
在A中,若m∥β,n∥β,m,n?α,则α与β相交或平行,故A错误;
在B中,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,得m⊥γ,n?γ,则由面面垂直的性质定理得m⊥n,故B正确;
在C中,若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么由线面垂直的性质定理得m⊥n,故C错误;
在D中,若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么由线面平行的性质定理得m∥n,故D正确.故选BD.
答案BD
5.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下面四个结论中正确的是( )
A.BC∥平面AGF
B.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面BCD
D.平面ABF⊥平面BCD
解析∵F,G分别是CD,DB的中点,∴GF∥BC,
则BC∥平面AGF,故A正确;
∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,
∵EG∥CD,
∴EG⊥平面ABF,故B正确;
∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,
∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,
∵CD?面BCD,
∴平面ABF⊥平面BCD,故D正确;
对于选项C,假设平面AEF⊥平面BCD,
由平面AEF∩平面BCD=AF,CD?平面BCD,CD⊥AF,
∴CD⊥平面AEF,CD⊥EF,与CD,EF夹角为60°矛盾,故C错误.故选ABD.
答案ABD
6.
如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合),则下列命题中正确的是( )
①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A'DE;
③三棱锥A'-FED的体积有最大值.
A.① B.①② C.①②③ D.②③
解析注意折叠前DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变.①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,
∴点A'在平面ABC上的射影在线段AF上,正确;
②BC∥DE,BC?平面A'DE,DE?平面A'DE,
∴BC∥平面A'DE,正确;
③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED的体积达到最大,正确.
答案C
7.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC= .?
解析取AB的中点E,连接PE.
∵PA=PB,∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,
∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.
∠ABC=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=27,PE=PA2-AE2=6,
CE=BE2+BC2=43,PC=PE2+CE2=7.
答案7
8.如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,边长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面AC所成的角为θ,则θ= .?
解析如图所示,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.
∵△PAD是等边三角形,
∴PG⊥AD,又平面PAD⊥平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PG?平面PAD,∴PG⊥平面AC,
∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.
在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,
∴∠PBG=45°,即θ=45°.
答案45°
9.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是 .?
解析如图,过D作DG⊥AF,
垂足为G,连接GK,
∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,
∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.
容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.
所以t的取值范围是12,1.
答案12,1
10.
如图,在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点.
(1)求证:平面COD⊥平面AOB;
(2)求异面直线AO与CD所成角的正切值.
(1)证明由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,
∴CO⊥BO,
又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB,
又∵CO?平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.
(2)解作DE⊥OB,垂足为E,
连接CE(如图),则DE∥AO,
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在Rt△COE中,
CO=BO=2,OE=12BO=1,
∴CE=CO2+OE2=5.又DE=12·AO=3,
∴在Rt△CDE中,tan∠CDE=CEDE=53=153.
∴异面直线AO与CD所成角的正切值为153.
11.
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)证明如图所示,连接BD,
由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,
所以PB⊥BE.
又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,∠PBA=60°,
故二面角A-BE-P的大小是60°.
课件43张PPT。11.4.2 平面与平面垂直一、二面角
1.思考
(1)二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?提示:无关.如图,
根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.(2)随手打开一本书,发现每两书页之间所在的平面也形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.
问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点?
提示:可以是锐角、直角、钝角、平角.
问题2:两个半平面形成的二面角可以为0°角吗?
提示:可以.
问题3:两个半平面成二面角的范围是什么?
提示:[0°,180°].2.填空 一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,不大于90°的角的大小.3.做一做
判断正误.
(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( )
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. ( )
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. ( )
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )
解析:(1)(3)不符合定义,故(1)(3)不正确;(2)中两条直线的夹角不能是钝角,当二面角的平面角为锐角时,两个角不会互补,故(2)错;由二面角的平面角的定义知(4)正确.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√二、两个平面垂直及其判定定理、性质定理
1.思考
(1)过平面α的一条垂线能作多少个平面与平面α垂直?
提示:无数个.可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察.
(2)经过平面的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个?
提示:只有一个.
(3)两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样的?
提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内.2.填空
定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β.3.做一做
(1)如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有( )对.
A.1 B.2
C.3 D.4解析:∵AB⊥平面BCD,且AB?平面ABC和AB?平面ABD,
∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵BC⊥CD,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
∵CD?平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.
答案:C(2)已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,平行四边形ABCD一定是 .?
解析:因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因为PC⊥BD,PA∩PC=P,
所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥AC,
所以平行四边形ABCD一定是菱形.
答案:菱形
(3)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
∴BB1⊥平面ABCD.又BB1?平面BDD1B1,
∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测求二面角的大小
例1四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.
(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;
(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.
所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意知∠BAD=90°,
所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.
所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.
由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,
从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.
所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB=a,则PA=AB=BC=a,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟作二面角的平面角的方法
方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.方法二(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.大小关系不确定
解析:可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)已知Rt△ABC,斜边BC?α,点A?α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.
解:如图所示,在平面α内,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,连接AD.
设OC=a,
∵AO⊥α,BC?α,
∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD,
∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.
由AO⊥α,OB?α,OC?α知AO⊥OB,AO⊥OC.
又∠ABO=30°,∠ACO=45°,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测面面垂直的判定
例2如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中,∵SB=SC=a,在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,
∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.证明:法一:(利用定义证明)
∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
∴△ASB和△ASC是等边三角形,
令SA=SB=SC=AB=AC=a,
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测法二:(利用判定定理)
∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
∴SA=AB=AC,
∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
∵△SBC为直角三角形,
∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
∴AD⊥平面SBC.
又∵AD?平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.反思感悟证明:面面垂直的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,
又BM?平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.
又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,
从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M=B,所以BM⊥平面A1B1M,
因为BM?平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测面面垂直的性质
例3如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)BC⊥平面PAC.
证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.
又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,所以BC⊥平面PAC.
(2)因为BC⊥平面PAC,且BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是 ( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,
所以AC⊥平面PBC.
又因为BC?平面PBC,
所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,
所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,
除去A和B两点,故选D.
答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探索型问题
例4在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.
解:如图,作EM⊥A1C于点M,
因为截面A1EC⊥平面AA1C1C,
所以EM⊥平面AA1C1C.
取AC的中点N,连接BN,MN.
因为AB=BC,所以BN⊥AC.
而AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C1C,
所以平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,
所以BN⊥平面AA1C1C.
所以BN∥EM,BN⊥MN.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,
所以BE∥MN∥A1A.
所以四边形BEMN为平行四边形.
因为AN=NC,所以A1M=MC.即E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.垂直关系的相互转化 2.探究型问题的两种解题方法
(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.
(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)证明:因为AB⊥平面BCD,
所以AB⊥CD.
因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,
所以CD⊥平面ABC.所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.
所以EF⊥平面ABC,EF?平面BEF.
所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)解:由(1)知,BE⊥EF,
因为平面BEF⊥平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.
因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测注意由几何体的所属范围不同而进行的分类讨论
典例已知在四边形ABCD中,四个角∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB都是直角.求证:四边形ABCD是矩形.
证明:(1)当四边形ABCD是平面四边形时,易得其是矩形.(2)若四边形ABCD是空间四边形,可设点C在平面ABD之外,如图所示,设C'是点C在平面ABD内的射影,
因为AD?平面ABD,CC'⊥平面ABD,所以CC'⊥AD.又CD⊥AD,CC'∩CD=C,所以AD⊥平面CC'D,
所以C'D⊥AD.同理C'B⊥AB.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测连接BD,在△BCD中,∠BCD=90°,
故CD2+CB2=BD2.②
在平面四边形ABC'D中,
因为∠DAB=∠ABC'=∠ADC'=90°,
所以∠BC'D=90°,
所以C'D2+C'B2=BD2.③
将②③代入①得BD2>BD2,矛盾,故四边形ABCD不可能是空间四边形,只能是平面四边形,
所以四边形ABCD是矩形.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法点睛1.要避免错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.
2.涉及空间中讨论问题,不能仅局限于初中所学平面几何的范畴.一些平面几何中的结论也不能随意照搬到立体几何中.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练4如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则平面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD,∴AC⊥B1B.
∵B1B∩BD=B,∴AC⊥对角面BB1D1D.
又∵AC?平面ACB1,
∴平面ACB1⊥对角面BB1D1D.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.直线l⊥平面α,l?平面β,则α与β的位置关系是( )
A.平行 B.可能重合
C.相交且垂直 D.相交不垂直
解析:由面面垂直的判定定理,得α与β垂直.
答案:C
2.过两点与已知平面垂直的平面有( )
A.一个 B.无数个
C.一个或无数个 D.可能不存在
解析:当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直;当两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直.
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是 .?解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AD1,则AB⊥AD1.又AB⊥AD,所以∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角,在Rt△D1AD中,∠D1AD=45°.
答案:45°探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= .?解析:因为在△ABC中,AD⊥BC,
所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,
所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.
因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.答案:1 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SCD⊥底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC.证明:∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD.
又平面SCD⊥平面ABCD,
平面SCD∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,
∴BC⊥平面SCD.
又∵BC?平面SBC,∴平面SCD⊥平面SBC.
