课件13张PPT。章末整合专题一 复数的概念及几何意义
例1设复数z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i.试求当实数m取何值时:
(1)z是实数;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点在直线x+y=0上;(4)|z|=0;
(5) =-3+i.解:z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i.
①因为z是实数,所以m2-4m+3=0,
解得m=1或m=3.解得m=-1;
③由于z对应的点在直线x+y=0上,
所以(m2-2m-3)+(m2-4m+3)=0,
解得m=0或m=3.例2若△ABC中,A,B两顶点对应的复数分别为1+i与 3-i,且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,求C点对应的复数.专题二 复数的运算
例3计算:专题三 复数的三角形式及其运算
例5化下列复数为三角形式: 例7设关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0.
(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;解:(1)设实数根是a,
则a2-(tan θ+i)a-(2+i)=0,
即a2-atan θ-2-(a+1)i=0.
∵a,tan θ∈R,∴a2-atan θ-2=0且a+1=0,
∴a=-1且tan θ=1,(2)设方程存在纯虚数根为bi(b∈R,b≠0),
则(bi)2-(tan θ+i)bi-(2+i)=0,专题五 直观想象的核心素养
例8若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:法一:由|z+2-2i|=1,
复数z对应的点在以(-2,2)为圆心,半径为1的圆上.
|z-2-2i|=|z-(2+2i)|
表示圆上点Z到A(2,2)距离的最小值,易知选B.
法二:应用公式||z1|-|z2||≤|z1-z2|,
∴|z-2-2i|=|(z+2-2i)-4|
≥||z+2-2i|-4|=3,
即|z-2-2i|的最小值为3.
答案:B第十章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2019年高考全国Ⅲ卷文数)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
解析z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D.
答案D
2.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析由z=-3+2i,得z=-3-2i,则z=-3-2i对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.
答案C
3.(2019年高考全国Ⅰ卷文数)设z=3-i1+2i,则|z|=( )
A.2 B.3 C.2 D.1
解析∵z=3-i1+2i,
∴z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15?75i,
∴|z|=152+-752=2.
故选C.
答案C
4.(2019年高考全国Ⅱ卷文数)设z=i(2+i),则z=( )
A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i
解析由题意得z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-1-2i.故选D.
答案D
5.复数4cos-π2+isin-π2化成代数形式,正确的是( )
A.4 B.-4 C.4i D.-4i
解析4cos-π2+isin-π2=4[0+i(-1)]=-4i.故选D.
答案D
6.4(cos 60°+isin 60°)×3(cos 150°+isin 150°)=( )
A.63+6i B.63-6i
C.-63+6i D.-63-6i
解析4(cos 60°+isin 60°)×3(cos 150°+isin 150°)
=12[cos(60°+150°)+isin(60°+150°)]
=12(cos 210°+isin 210°)
=12-32-12i
=-63-6i.
故选D.
答案D
7.(2019年高考全国Ⅰ卷理数)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
解析由题意可得z=x+yi,
z-i=x+(y-1)i,
则|z-i|=x2+(y-1)2=1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
答案C
8.若复数z满足|z+3-4i|=2,则z·z的最大值为( )
A.9 B.81 C.7 D.49
解析由|z+3-4i|=2,得复数z在复平面内对应点的集合图形如图,
∴|z|max=7,则z·z=|z|2的最大值为49.
故选D.
答案D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.在复数范围内,方程2x2-3x+2=0的解是( )
A.3+7i4 B.3-7i4
C.-3±7i4 D.3±7i4
解析根据求根公式,方程2x2-3x+2=0的解是x=3±-72×2=3±7i24.故选AB.
答案AB
10.设z是复数,则下列命题中的真命题是( )
A.若z2>0,则z是实数
B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2>0
D.若z是纯虚数,则z2<0
解析设z=a+bi,a,b∈R,z2=a2-b2+2abi,
对于A,z2>0,则b=0,所以z是实数,真命题;
对于B,z2<0,则a=0,且b≠0,所以z是虚数;所以B为真命题;对于C,z是虚数,则b≠0,假设z2>0,则a2-b2>0且2ab=0?a≠0,b=0与b≠0矛盾,所以z2>0是假命题.对于D,z是纯虚数,则a=0,b≠0,所以z2<0是真命题;故选ABD.
答案ABD
11.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题,其中的真命题为( )
A.|z|=2 B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1
解析∵z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,
∴A:|z|=2,
B:z2=2i,
C:z的共轭复数为-1+i,
D:z的虚部为-1,
故选BD.
答案BD
12.复数z的共轭复数记为z,复数z,z分别对应点Z,Z.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有Z∈A,就称A为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有( )
A.{(x,y)|y=log2x}
B.{(x,y)|y2=x}
C.(x,y)x22-y2=1
D.{(x,y)|y=2x}
解析复数z的共轭复数记为z,复数z,z分别对应点Z,Z.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有Z∈A,就称A为“共轭点集”.即z,z表示的点(x,y),(x,-y)都满足集合,即为“共轭点集”.B,C中的集合都满足,AD中不满足.
答案BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.i是虚数单位,则5-i1+i的值为 .?
解析由题可得5-i1+i=(5-i)(1-i)2=2-3i=13.
答案13
14.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .?
解析由题可得(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,令a-2=0,解得a=2.
答案2
15.欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,对e2 0194πi表示的复数z,则|z|= .?
解析由题意,e2 0194πi=cos2 0194π+isin2 0194π=
cos3π4+isin3π4=-22+22i,
所以|z|=12+12=1.
答案1
16.复数z=a-i且z1+i=1+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则ab= ;|z|= .?
解析由z=a-i,得
z1+i=a-i1+i=(a-i)(1-i)(1+i)(1-i)=a-12?a+12i=1+bi,
则a-12=1,-a+12=b,
解得a=3,b=-2.
∴ab=-6.
z=3-i,|z|=32+(-1)2=10.
答案-6 10
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1·z2|;
(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1·z2|的关系,并证明该关系的一般性.
解(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,
|z1|=|1+2i|=5,|z2|=|3+4i|=5,
|z1·z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i|=55.
(2)由(1)猜测,|z1|·|z2|=|z1·z2|.
证明如下:
∵z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
∴|z1|=a2+b2,|z2|=c2+d2,
|z1|·|z2|
=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2;
z1z2=(a+bi)(c+di)
=(ac-bd)+(ad-bc)i,
∴|z1z2|
=(ac-bd)2+(ad-bc)2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.
∴|z1|·|z2|=|z1·z2|.
18.(12分)已知i为虚数单位,m为实数,复数z=(m+i)·(1-2i).
(1)m为何值时,z是纯虚数;
(2)若|z|≤5,求|z-1|的取值范围.
解(1)z=(m+i)(1-2i)=(m+2)+(1-2m)i.
当m+2=0,1-2m≠0时,即m=-2时,z是纯虚数.
(2)由|z|≤5,可知z的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆及其内部,如图,
则|z-1|的取值范围是[0,6].
19.(12分)已知i为虚数单位,复数z满足|z|i+z=3+9i.
(1)求z;
(2)在复平面内,O为坐标原点,向量OA,OB对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.
解(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|i+z=3+9i,得a+(b+a2+b2)i=3+9i,
∴a=3,b+a2+b2=9,解得a=3,b=4.
∴z=3+4i;
(2)由题意,A,B,O的坐标分别为(3,4),(c,2-c),(0,0),
∴OA=(3,4),OB=(c,2-c),
∵∠AOB是直角,
∴3c+4(2-c)=0,即c=8.
20.(12分)已知复数z=bi(b∈R),z-21+i是纯虚数,i是虚数单位.
(1)求复数z的共轭复数z;
(2)若复数(m+z)2所表示的点在第二象限,求实数m的取值范围.
解(1)∵z=bi(b∈R),
∴z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=(b-2)+(b+2)i2
=b-22+b+22i,
又∵z-21+i是纯虚数,
∴b-22=0且b+22≠0,
解得b=2,即z=2i.
∴z=-2i;
(2)∵z=2i,m∈R,
∴(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi,
又∵复数所表示的点在第二象限,
∴m2-4<0,4m>0,解得0即m∈(0,2)时,复数所表示的点在第二象限.
21.(12分)已知复数z满足:z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.
(1)求复数z;
(2)设a∈R,且1+z1+z2 019+a=2,求实数a的值.
解(1)设z=c+di(c,d∈R),
则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i.
∴c2-d2=3,2cd=4,解得c=-2,d=-1,或c=2,d=1.(舍去).
∴z=-2-i;
(2)∵z=-2+i,
∴1+z1+z=-1-i-1+i=1+i1-i=(1+i)22=i,
∴1+z1+z2 019=i2 019=i4×504+3=-i,
∴|a-i|=a2+1=2,
∴a=±3.
22.(12分)已知复数z=12-32i2是一元二次方程mx2+nx+1=0(m,n∈R)的一个根.
(1)求m和n的值;
(2)若z1=(a-2i)z,a∈R,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.
解(1)∵z=12-32i2=14?34?32i=-12?32i是一元二次方程mx2+nx+1=0的一个根,
∴-12+32i是一元二次方程mx2+nx+1=0的另一个根,
∴1m=-12+32i-12-32i=1,则m=1.
-12+32i+-12-32i=-nm,得n=1;
(2)z1=(a-2i)z=(a-2i)-12-32i=-12a-3+1-32ai为纯虚数,
则-12a-3=0,1-32a≠0,即a=-23.
∴|a+2i|=|-23+2i|=12+4=4.
