（新教材）高中数学人教B版必修第四册 9.1.1　正弦定理（课件+巩固提升）

第九章解三角形
9.1　正弦定理与余弦定理
9.1.1　正弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是(　　)
A.a>bsin A B.a=bsin A
C.a解析由正弦定理,得asinA=bsinB,所以a=bsinAsinB,在△ABC中,0答案D
2.在△ABC中,a=43,b=4,A=π3,则B=(　　)
A.π6 B.π3
C.π2 D.2π3
解析由正弦定理可得asinA=bsinB,∴sin B=bsinAa=4×3243=12.
又∵a=43>b=4,∴A>B.∴B=π6.故选A.
答案A
3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=π3,则△ABC的面积等于(　　)
A.6 B.12 C.63 D.123
解析S△ABC=12bcsin A=12×3×8×sin π3=63.故选C.
答案C
4.在△ABC中,a=23,b=22,B=45°,则A为(　　)
A.30°或150° B.60°或120°
C.60° D.30°
解析由正弦定理可得:asinA=bsinB,∴sin A=asinBb=23×2222=32.
∵0答案B
5.在△ABC中,一定成立的等式是(　　)
A.asin A=bsin B B.acos A=bcos B
C.asin B=bsin A D.acos B=bcos A
解析在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,即asin B=bsin A.故选C.
答案C
6.在△ABC中,若A=30°,a=2,b=23,则此三角形解的个数为(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.不能确定
解析a·sin A=2×12=1,∵1<2<23,即a·sin A答案C
7.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是(　　)
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则a=b
C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B,若A>B,则sin A>sin B都成立
D.在△ABC中,asinA=b+csinB+sinC
解析由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由sin 2A=sin 2B,可得A=B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以a=b或a2+b2=c2,故B错误.故选B.
答案B
8.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若∠A=105°,∠B=45°,b=22,则c=　　　　　,△ABC的面积为　　　　　.?
解析∠C=180°-105°-45°=30°.根据正弦定理bsinB=csinC,可知22sin45°=csin30°,解得c=2.故△ABC的面积为
S=12bcsin A=12×22×2×sin 105°
=22×6+24=3+1.
答案2　3+1
9.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,则cos B=　　　　　.?
解析由正弦定理得ACsinB=BCsinA,
所以sin B=ACsinABC=10×3215=33,
因为AC答案63
10.在△ABC中,若acos A2=bcos B2=ccos C2,则△ABC一定是　　　　　三角形.?
解析由正弦定理得sinAcos A2=sinBcosB2=sinCcosC2,
所以sinA2=sinB2=sinC2.
因为0答案等边
11.在△ABC中,a=2,c=2,sin A+cos A=0,则角B的大小为　　　　　.?
解析因为角A是三角形的内角,所以A∈(0,π),又因为sin A+cos A=0,所以有tan A=-1,所以A=34π,由正弦定理可知:asinA=csinC?222=2sinC?sin C=12,因为A=34π,所以C∈0,π4,因此C=π6,由三角形内角和定理可知:B=π-A-C=π12.
答案π12
12.在△ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
证明因为在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,
所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA
=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.
所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
能力提升
1.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=3,A=45°,B=75°,则a=(　　)
A.2 B.3 C.1 D.3
解析因为A=45°,B=75°,所以C=180°-45°-75°=60°,在△ABC中,asinA=csinC,所以asin45°=3sin60°?a=2.故选A.
答案A
2.满足条件C=60°,AB=3,BC=95的△ABC有(　　)个
A.0 B.1 C.2 D.3
解析由于BC·sin C=9310<3<95,所以△ABC有两解.故选C.
答案C
3.在△ABC中,若AB·AC=2且∠BAC=30°,则△ABC的面积为(　　)
A.3 B.23 C.33 D.233
解析由AB·AC=2,得bccos 30°=2,所以bc=43.由三角形面积公式得S=12bcsin A=12×43×12=33.故选C.
答案C
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acos B=(2c-b)cos A,则角A的大小为(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
解析由正弦定理得sin Acos B=(2sin C-sin B)·cos A,即sin(A+B)=2sin Ccos A,即sin C=2sin Ccos A,也即cos A=22,故A=π4.故选B.
答案B
5.如图,A,B是半径为1的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中△PAB的面积的最大值为(　　)
A.12sin β+sin 2β
B.sin β+12sin 2β
C.β+sin β
D.β+cos β
解析在△ABP中,由正弦定理可得,ABsin∠APB=2R=2,则AB=2sin β.
S△ABC=12AB·h,当点P在AB的中垂线上时,h取得最大值,此时△ABP的面积最大.
取AB的中点C,过点C作AB的垂线,交圆于点D,取圆心为O,
则OC=OB2-BC2=1-sin2β=cos β(β为锐角),CD=DO+OC=1+cos β.
所以△ABP的面积最大为S=12AB·DC=12(2sin β)·(1+cos β)=sin β+sin βcos β=sin β+12sin 2β.故选B.
答案B
6.在△ABC中,角A所对的边为a,若a=2,且△ABC的外接圆半径为2,则A=　　　　　.?
解析由正弦定理可得asinA=4,所以sin A=a4=12,∵0答案π6或5π6
7.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　　.?
解析过点A作BC垂线,交BC于点E,则AE=15,所以sin∠ABC=154,则sin∠CBD=sin(π-∠ABC)=154,所以S△BCD=12BD·BC·sin∠CBD=12×2×2×154=152.
答案152
8.在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=　　　　　.?
解析如图,由正弦定理易得ABsin∠ADB=ADsinB,即2sin∠ADB=3sin120°,故sin∠ADB=22,即∠ADB=45°.
在△ABC,已知∠B=120°,∠ADB=45°,即∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分线,故∠BAC=2∠BAD=30°.在△ABC中,∠B=120°,∠BAC=30°,易得∠ACB=30°.在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB.即ACsin120°=2sin30°,故AC=6.
答案6
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan A=43,tan B=13,a=5.
(1)求tan C;
(2)求△ABC中的最长边.
解(1)因为tan C=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=
-43+131-49=-3.
(2)由(1)知C为钝角,所以C为最大角,
因为tan A=43,所以sin A=45.
又tan C=-3,所以sin C=31010.
由正弦定理得545=c31010,所以c=15108为最长边.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-ba=cosBcosA.
(1)求角A的大小;
(2)设a=22,b=3,求sin(2B-A)的值.
解(1)由正弦定理可得2sinC-sinBsinA=cosBcosA,
即2sin Ccos A=sin Acos B+cos AsinB
=sin(A+B)=sin C.
因为sin C≠0,所以cos A=12.
又A∈(0,π),所以A=π3.
(2)由正弦定理asinA=bsinB, 得sin B=bsinAa=3sin π322=368,
所以cos B=±1-sin2B=±108.
所以cos 2B=1-2sin2B=1-2×3732=-1116,
sin 2B=2sin Bcos B=±31516.
当sin 2B=31516时,sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=113+31532;
当sin 2B=-31516时,sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=113-31532;
所以sin(2B-A)=113+31532或113-31532.
课件46张PPT。9.1.1　正弦定理一、三角形的面积
1.思考
在△ABC中,已知两边及这两边的夹角,能求出这个三角形的面积吗?
提示:在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,边a,b,c上的高分别记为ha,hb,hc,则ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.2.填空
三角形面积公式的推广 答案:60°或120° 二、正弦定理
1.思考
(1)在直角三角形中,你能由锐角正弦值的定义探究出角与边的等式关系吗?(2)在锐角△ABC中,以上关系式是否仍然成立? (3)在钝角△ABC中,以上关系式是否仍然成立?
提示:在钝角△ABC中,设C为钝角,如图,过点B作BD⊥AC于点D,
则BD=asin(π-C)=asin C,
BD=csin A,故有asin C=csin A,2.填空
(1)正弦定理的表示3.做一做
(1)判断正误.
①正弦定理只适用于锐角三角形. (　　)
②正弦定理不适用于钝角三角形. (　　)
③在某一确定的三角形中,各边的长与它的对角的正弦的比是定值. (　　)
④在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. (　　)
解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;
由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边的长与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确;
由比例性质和正弦定理可推知④正确.
答案:①×　②×　③√　④√答案:C (3)在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,则a∶b∶c= (　　) 答案:D 三、解三角形
1.思考
从正弦定理的表达形式上,你能说明正弦定理的基本作用吗?
提示:(1)正弦定理说明在同一三角形中,各边的边长与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C;从而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:
①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.2.填空
习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.3.做一做 答案:D 答案:45° 四、对三角形解的个数的判断
1.思考
(1)在△ABC中,若A>B,一定有sin A>sin B吗?反之,若sin A>sin B,一定有A>B吗?
提示:由A>B,得a>b,
所以2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B;
由sin A>sin B,得2Rsin A>2Rsin B,即a>b.
所以A>B.
(2)如何判断三角形解的个数?对于任意给定的a,b,A的值,能否确定一个三角形?
提示:略2.填空
已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.现以已知a,b和A解三角形为例予以说明:3.做一做
不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(1)a=5,b=4,A=120°;
(2)a=7,b=14,A=150°;
(3)a=9,b=10,A=60°.
解:(1)∵A为钝角且a>b,
∴△ABC有一解.
(2)∵A为钝角且a(3)∵bsin A例1(1)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟正弦定理的两个应用
(1)已知两角与任意一边解三角形的方法:如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时,由三角形内角和定理可以计算出三角形的第三个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.
(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法:
首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角,当已知的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,则不能判断,此时就有两组解,再分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理求出第三条边.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练1(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(　　)答案:C A.30° B.45°或135°
C.60° D.135°答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测答案:15°或105° 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测求三角形的面积 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判定三角形的形状
例3在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sin A=2sin B·cos C.试判断△ABC的形状.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟判断三角形的形状的方法
(1)判断三角形的形状,可以从考查三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断.
(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练3在△ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判断三角形解的个数
例4已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知三角形两边和其中一边的对角时,判断三角形解的个数
已知三角形两边和其中一边的对角时,利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后,需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角,从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以用几何法来判断,即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练4(1)满足a=4,b=3,A=45°的△ABC的个数为　　　　　.?
解析:因为A=45°<90°,a=4>3=b,所以△ABC的个数为一个.
答案:1
(2)△ABC中,a=x,b=2,B=45°.若该三角形有两解,则x的取值范围是　　　　　.?探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测用正弦定理证明问题
例5在任意△ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0.
证明:由正弦定理,令a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,得
左边=k(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A-sin Csin B)=0=右边,
所以等式成立.
反思感悟边与角的互化方法
正弦定理的变形公式a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练5利用正弦定理证明定理:等腰三角形的两个底角相等.
证明:设等腰△ABC的两边AB=AC,所以sin C=sin B.
由于0°所以B=C.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测正弦定理与三角恒等变换知识的综合应用
例6在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判断三角形解个数的多种方法
典例在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,A=30°,b=x(x>0),判断此三角形解的个数.
解:由于b是不确定的边长,无法知道a与b的大小关系,即无法判断B是锐角还是钝角,这就需要对x的取值进行分类讨论.所以B有两种结果,此时△ABC有两解.
当x=8时,sin B=1,则B=90°,此时△ABC有一解.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测综上可知:当08时,△ABC无解.
解法二:A=30°,是锐角,分三种情况:
①当a=bsin A或a≥b,即4=xsin 30°或4≥x,
即x=8或0②当xsin 30°<4③当48时,三角形无解.
综上可知,当0当4当x>8时,△ABC无解.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测1.在△ABC中,sin A=sin C,则△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形答案:B 2.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=(　　)
A.1∶2∶3 B.3∶2∶1答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测答案:75° 4.已知△ABC外接圆半径是2 cm,∠A=60°,则BC边长为　　　　　.? 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测