第九章解三角形
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.2 余弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos A=13,则a=( )
A.5 B.7 C.4 D.3
解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=9+4-2×3×2×13=9,解得a=3.故选D.
答案D
2.在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于 ( )
A.1 B.2 C.2 D.4
解析bcos C+ccos B=b·a2+b2-c22ab+c·c2+a2-b22ac=2a22a=a=2.
答案C
3.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B等于 ( )
A.14 B.34 C.24 D.23
解析因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=2a.所以cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a·2a=34.
答案B
4.在△ABC中,已知三个内角A,B,C满足sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4,则cos B=( )
A.916 B.34 C.5716 D.74
解析根据正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4,所以设a=6k,b=5k,c=4k.所以由余弦定理得
cos B=a2+c2-b22ac=(6k)2+(4k)2-(5k)22×6k×4k=916.故选A.
答案A
5.已知a,b,c为△ABC的三边长,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则C的大小为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,
所以a2+b2-c2=-ab,
即a2+b2-c22ab=-12,
所以cos C=-12,所以C=120°.
答案C
6.在△ABC中,sin2A2=c-b2c(a,b,c分别为角A,B,C的对应边),则△ABC的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
解析因为sin2A2=1-cosA2=c-b2c,
所以cos A=bc=b2+c2-a22bc?a2+b2=c2,符合勾股定理.故△ABC为直角三角形.
答案B
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,那么这个三角形最大角的度数是( )
A.135° B.90° C.120° D.150°
解析因为sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角C是最大角,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=-12,因为0°
答案C
8.在△ABC中,a=3,b=1,c=1,则A= .?
解析由余弦定理得cos A=1+1-32×1×1=-12,由于A∈(0,π),故A=2π3.
答案2π3
9.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,则a+b= ,若C=60°,则边c= .?
解析由题意:a+b=5,ab=2.由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=19.
答案5 19
10.在锐角△ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为33,则BC的长是 .?
解析由题可知:12AB·AC·sin A=33?sin A=32,又为锐角三角形,所以A=60°,由余弦定理cos A=b2+c2-a22bc?a=13=BC.
答案13
11.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是 .?
解析因为2a-1>0,所以a>12,最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以a2+(2a-1)2<(2a+1)2,化简得02a+1,
所以a>2,所以2答案(2,8)
12.在△ABC中,求证:a2-b2c2=sin(A-B)sinC.
证明右边=sinAcosB-cosAsinBsinC
=sinAsinC·cos B-sinBsinC·cos A
=ac·a2+c2-b22ac?bc·b2+c2-a22bc
=a2+c2-b22c2?b2+c2-a22c2
=a2-b2c2
=左边.
所以a2-b2c2=sin(A-B)sinC.
能力提升
1.在△ABC中,已知c=3,b=2,a=10,则( )
A.cos A=14
B.S△ABC=3154
C.cos B=-104
D.AB·AC=-32
解析因为AB·AC=|AB|·|AC|·cos <AB,AC>,由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB|=3,|AC|=2,
则cos <AB,AC>=AB2+AC2-BC22AB·AC=14,
即cos A=14,故A正确;
sin A=154,则cos B=32+(10)2-222×3×10=104.故C错误;
则S△ABC=12bcsin A=12×2×3×154=3154.故B正确;
AB·AC=3×2×14=32.故D错误.
综上,AB正确.
答案AB
2.△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,c=2a,则( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
解析因为c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-2abcos 120°,又c=2a,
所以2a2=a2+b2+ab,即a2=b2+ab>b2,所以a>b.故选A.
答案A
3.在△ABC中,已知2A=B+C,且a2=bc,则△ABC的形状是( )
A.两直角边不等的直角三角形
B.顶角不等于90°或60°的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析解法1:由2A=B+C,知A=60°.
又cos A=b2+c2-a22bc,所以12=b2+c2-bc2bc.
所以b2+c2-2bc=0.即(b-c)2=0,所以b=c.
故△ABC为等边三角形.
解法2:验证四个选项知C成立.
答案C
4.在△ABC中,已知AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为( )
A.322 B.332
C.32 D.33
解析如图,在△ABC中,BD为AC边上的高,且AB=3,BC=13,AC=4.
因为cos A=32+42-(13)22×3×4=12,所以sin A=32.故BD=AB·sin A=3×32=332.
答案B
5.已知△ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,A=120°,a=21,△ABC的面积为3,则c+b=( )
A.4.5 B.42
C.5 D.6
解析由三角形的面积公式可得S△ABC=12bcsin A=12bc×32=34bc=3,∴bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即b2+c2-2×4×-12=21,得b2+c2=17.
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+2×4=25,因此,c+b=5.故选C.
答案C
6.如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度,那么新三角形( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形
C.一定是直角三角形 D.形状无法确定
解析设原直角三角形C为直角,三边都增加1后 .
cos C=(a+1)2+(b+1)2-(c+1)22(a+1)(b+1)=2a+2b-2c+12(a+1)(b+1)>0,
所以最大角为锐角,所以三角形为锐角三角形.故选A.
答案A
7.在△ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,AD为边BC上的高,则AD的长是 .?
解析因为cos C=BC2+AC2-AB22×BC×AC=22,
所以sin C=22.所以AD=AC·sin C=3.
答案3
8.在△ABC中,sin B2=255,AB=5,BC=1,则AC= .?
解析由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,又cos B=1-2sin2B2=1-2×45=-35.
故AC2=25+1-2×5×1×-35=32,
所以AC=42.
答案42
9.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=7,c=5,A=600.
(1)求cos C;
(2)求△ABC的面积.
分析(1)利用余弦定理可构造方程求得b;利用余弦定理求得cos C;(2)根据三角形面积公式可直接求得结果.
解(1)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+25-5b=49,
解得b=-3(舍)或b=8.
故由余弦定理得
cos C=a2+b2-c22ab=49+64-252×7×8=1114.
(2)由(1)得S△ABC=12bcsin A
=12×8×5sin 60°=103.
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=35,sin C=2sin A.
(1)求a,c的值;
(2)求sin2B+π4的值.
分析(1)利用正弦定理可得c=2a,从而可求出a,c.
(2)利用余弦定理可计算出cos B,再利用同角的三角函数的基本关系式可求sin B,利用二倍角公式可求2B的正弦与余弦,最后利用两角和的正弦公式可求sin2B+π4.
解(1)由正弦定理csinC=asinA及sin C=2sin A,得c=2a.
因为a+c=35,
所以a=5,c=25.
(2)因为由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
所以cos B=45.
因为B是三角形内角,
所以0所以sin B=1-cos2B=35,
所以sin 2B=2sin Bcos B=2425,
cos 2B=2cos2B-1=725,
所以sin2B+π4=sin 2Bcos π4+cos 2Bsin π4
=22sin 2B+22cos 2B=31250.
课件47张PPT。9.1.2 余弦定理一、余弦定理及其证明
1.思考
(1)余弦定理是如何证明的?提示:证法1 课本使用了向量的方法推导出了余弦定理,所以|c|2=c·c=(b-a)2=a2-2a·b+b2
=a2-2|a||b|cos C+b2,
所以c2=a2+b2-2abcos C.证法2 (勾股定理法)在△ABC中,已知边a,b及角C,求边c的长.
如果C=90°,那么可以用勾股定理求c的长;
如果C≠90°,那么是否仍可以用勾股定理来解呢?
很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计算.
当C为锐角时(图①),高AD把△ABC分成两个直角三角形△ADB和△ADC;当C为钝角时(图②),作高AD,则构造了两个直角三角形ADB和ADC,算出c的关键是先算出AD和BD(或DC).AD=bsin C,DC=bcos C,BD=a-bcos C.
在Rt△ADB中,运用勾股定理,得
c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcos C)2
=a2+b2-2abcos C.
同理可得
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.证法3 利用坐标法证明
如图,建立直角坐标系,
则A(0,0),B(ccos A,csin A),C(b,0)(写出三点的坐标).所以a2=b2+c2-2bccos A. 证法4 (用正弦定理证明)
因为a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
所以b2+c2-2bccos A=4R2(sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A)
=4R2[sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C)]
=4R2[sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin B·sin Ccos Bcos C]
=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin Bsin Ccos Bcos C]
=4R2[sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sin Bsin C·cos Bcos C]
=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2.
同理可证b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.(2)勾股定理和余弦定理的联系与区别?
提示:二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系,勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系,是余弦定理的特例.2.填空
余弦定理的表示及其推论3.做一做
(1)判断正误.
①余弦定理只适用于锐角三角形. ( )
②余弦定理不适用于钝角三角形. ( )
③已知两边和这两边的夹角,则这个三角形确定了. ( )
④已知三边,则这个三角形确定了. ( )
解析:余弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;根据余弦定理,
已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形确定了,故③④正确.
答案:①× ②× ③√ ④√答案:B (3)在△ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A= .? (4)在△ABC中,AB=4,BC=3,B=60°,则AC等于 .? 二、用余弦定理解三角形的问题
1.思考
(1)已知三角形的两边a,b及一边a的对角A解三角形,有几种方法?
提示:不妨设已知a,b,A,形内角和定理求得C,最后求得边c.
方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得边c,而后由余弦或正弦定理求得B,C.(2)使用余弦定理有哪些注意事项?
提示:①使用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用定理的推论.
②余弦定理及其推论在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.
③余弦定理及其推论将用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.
④要注意正弦定理或余弦定理结合使用,同时,要注意三角公式的应用.⑤利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角.
⑥已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,也可以使用余弦定理.如已知a,b,A,可先由余弦定理求出c,即a2=b2+c2-2bccos A.此时,边c的解的个数对应三角形解的个数.
⑦在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.
⑧利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方,通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.2.填空
利用余弦定理可以解决以下两类问题:
(1)已知两边及夹角解三角形;
(2)已知三边解三角形.3.做一做 A.4 B.8 C.4或8 D.无解 答案:C 答案:D (3)在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是 .?
解析:设第三个角为θ,由于8>7>5,故θ的对边长为7,由余弦定理,答案:120° 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知两边和一角解三角形 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知两边及一角解三角形的方法
(1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解.
(2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论.
利用余弦定理求解相对简便.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练1(1)已知△ABC中,a=1,b=1,C=120°,则边c= .? 答案:4或5 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知三边解三角形 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判定三角形的形状
例3在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状.
解:解法一:因为b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,
所以利用正弦定理可得
sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,
所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测解法二:已知等式可化为
b2-b2cos2C+c2-c2cos2B=2bccos Bcos C,
由余弦定理可得所以b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形.
解法三:已知等式变形为
b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos B·cos C,
所以b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos B·cos C,
因为b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C
=(bcos C+ccos B)2=a2,
所以b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟判断三角形形状的方法
已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状,可先观察条件式的特点,再依据此特点选取变形方法,当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形,当等式两边含有角的正弦的同次幂时,常用正弦定理变形,当含有边的积式及边的平方和与差的形式时,常考虑用余弦定理变形,可以化边为角,通过三角变换求解,也可以化角为边,通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测用余弦定理证明问题 证明:在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B,
所以2(a2-b2)=2accos B-2bccos A,
即a2-b2=accos B-bccos A,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟用余弦定理证明三角恒等式的方法
(1)证明三角恒等式,关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有:左?右;右?左或左?中?右三种.
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种:一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理转化.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测求三角形(或四边形)的面积
例5△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.解:(1)由已知及正弦定理得
sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①
又A=π-(B+C),故
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②
由①②得sin Csin B=cos Bsin C.
又0(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测正弦、余弦定理的综合应用 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测利用正、余弦定理求解平面图形中的线段长
典例如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求出BC的长.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测解题流程 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测规范解答
设BD=x.在△ABD中,根据余弦定理,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA,所以142=102+x2-2×10×xcos 60°,即x2-10x-96=0.(将四边形ABCD分解为△ABD和△BCD,利用余弦定理列出关于x的一元二次方程,化简方程时易出错,应注意步骤及计算的准确性.)
解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.
因为AD⊥CD,∠BDA=60°,所以∠CDB=30°.点评本题考查了“数学建模,逻辑推理,数学运算,直观想象”的数学核心素养.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测2.在△ABC中,若aA.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
解析:因为c2因为a答案:B
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4,b=6,c=9,则cos C= .?探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测4.在△ABC中,已知A=60°,最大边长和最小边长恰好是方程x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为 .?答案:4 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测5.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知a=4,c=5,且S△ABC=6,求b.