第九章解三角形
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
课后篇巩固提升
1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为502 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A,B两点的距离为( )
A.100 m B.503 m
C.1002 m D.200 m
解析△ABC中,AC=502 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°,
由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以ABsin45°=502sin30°,解得AB=100.故选A.
答案A
2.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ=( )
A.23+1 B.23-1 C.3-1 D.3+1
解析在△ABC中,由正弦定理得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(6?2),
在△BCD中,sin∠BDC=BCsin∠CBDCD=50(6-2)50×22=3-1,又因为cos θ=sin∠BDC,所以cos θ=3-1.故选C.
答案C
3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=3 km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为( )
A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km
解析如图所示:∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°,
在△BCD中,由正弦定理,得332=BDsin75°,故BD=2sin 75°.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°,所以AB=5+23≈2.9(km).故炮兵阵地与目标的距离为2.9 km.故选C.
答案C
4.如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.现测得DC=23千米,CE=2千米,则A,B两点间的距离为( )
A.6千米
B.22千米
C.3千米
D.23千米
解析在△ACD中,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°?∠DAC=67.5°?AC=DC=23;
在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°?∠CBE=45°,利用正弦定理得到:CEsin∠CBE=BCsin∠BEC?BC=3,
在△ABC中,∠ACB=60°,利用余弦定理得到AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB?AB=3.故选C.
答案C
5.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度是( )
A.240(3-1) m
B.180(2-1) m
C.30(3+1) m
D.120(3-1) m
解析由题意可知:∠ABC=105°,∠BAC=45°,
∴AC=60sinC=60sin30°=120.
由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=120sin45°sin105°=
602sin60°cos45°+cos60°sin45°=120(3-1),
即河流的宽度为120(3-1)m.故选D.
答案D
6.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=35,则灯塔高度是( )
A.15 B.25 C.40 D.60
解析过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,
在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,即hsin[90°-α-(90°-β)]=ADsin(90°+α),
∴AD=hcosαsin(β-α),在Rt△ADF中,DF=ADsin β=hcosαsinβsin(β-α),又山高为a,则灯塔CD的高度是CD=DF-EF=hcosαsinβsin(β-α)-a=40×32×3212-35=60-35=25.故选B.
答案B
7.某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西76°方向,则此时船到灯塔S的距离为 海里.?
解析由条件可得,∠BSA+∠BAS=76°,所以∠BSA=76°-40°=36°.
在△SAB中,由正弦定理,得BSsin∠BAS=ABsin∠BSA,所以BS=ABsin∠BASsin∠BSA=50sin40°sin36°≈54.7.
答案54.7
8.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为106米,则(1)AN= 米;(2)旗杆的高度为 米.?
解析依题意可知∠NBA=45°,∠BAN=180°-60°-15°=105°,所以∠BNA=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知ABsin∠BNA=NAsin∠NBA,所以AN=ABsin∠BNA·sin∠NBA=203米.
所以在Rt△AMN中,MN=ANsin∠NAM=203×32=30米,所以旗杆的高度为30米.
答案203 30
9.某人向正东走了x km后,右转150°,又走了3 km,此时距离出发点3 km,则x= .?
解析
作出图形如下图所示:
设起点为点A,向正东走x km后到达点B,然后向右转150°行走3 km到达点C,
此时AC=3 km,那么在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=3,B=30°,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即3=x2+9-2×x×3×32,
整理得x2-33x+6=0,解得x=3或23.
答案3或23
10.如图所示,近日我国渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里.
(1)求sin∠BDC的值;
(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?
分析(1)在△BDC中,根据余弦定理求得余弦值,再求正弦值得到答案.
(2)首先利用和差公式计算sin∠ABD,△ABD中,由正弦定理可得AD长度,最后得到时间.
解(1)由已知可得CD=40×12=20,
在△BDC中,根据余弦定理求得cos∠BDC=212+202-3122×21×20=-17,
所以sin∠BDC=437.
(2)由已知可得∠BAD=20°+40°=60°,
所以sin∠ABD=sin(∠BDC-60°)
=437×12?-17×32=5314.
在△ABD中,由正弦定理可得AD=BD×sin∠ABDsin∠BAD=21×sin∠ABDsin∠BAD=15,
所以t=1540×60=22.5分钟.
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.
课件44张PPT。9.2 正弦定理与余弦定理的应用一、测量中的基本术语
1.思考
测量中有哪些基本术语?
提示:基线、仰角、俯角、方向角、方位角、视角、坡角、坡比.2.填空 3.做一做
(1)若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的 ( )
A.东偏北45°10'方向上
B.北偏东45°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上
D.西偏南45°50'方向上
解析:如图所示,点Q在点P的南偏西44°50'的方向上.故选C.答案:C (2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为( )
A.α>β
B.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
解析:根据题意和仰角、俯角的概念得α=β,故选B.
答案:B(3)已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.
提示:如图所示:(4)请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.
提示:如图所示:二、解三角形应用题
1.思考
(1)如何解三角形应用题?
提示:解三角形应用题时,通常都要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解三角形,得到实际问题的解,求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.
(2)解三角形应用题常见的有哪两种情况?
提示:①实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.(3)距离问题的处理方法是什么?
提示:①测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题.如图所示.
这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题,用正弦定理就可解决.②测量两个不可到达的点A,B之间的距离问题.如图所示. 首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后把求B,C和A,C的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.(4)高度问题的处理方法是什么?
提示:①测量底部不可到达的建筑物的高度时,由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.
②在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如下图.(5)角度问题的处理方法是什么?
提示:测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选择定理,这是最关键、最重要的一步.2.填空
(1)解题思路(2)基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤
如下:
①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);
②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;
③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;
④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.(3)主要类型 3.做一做
(1)如图,在河岸AC测量河两岸B,C之间的距离,测量下列四组数据,较适宜的是( )A.γ,c,α B.b,c,α
C.c,α,β D.b,α,γ解析:隔着河a,c均不易测量,而测量b,α,γ更合适.
答案:D(2)甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是 .? (3)甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有( )
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
解析:仰角大说明距离小,仰角小说明距离大,即d1答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测测量高度问题
例1如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1在飞机上,某一时刻测得地面上两建筑物的俯角分别为45°和30°,这一时刻飞机对两建筑物的视角为45°.若两建筑物之间的距离为2 km,则飞机的飞行高度为 .?
解析:设两建筑物为A,B,这一时刻飞机所在位置为P,其在地面上的投影为D,AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB,
所以8=4h2+2h2-4h2=2h2,所以h=2(km).答案:2 km 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测测量角度问题
例2如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如图所示,连接CB.
在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos 120°.
又AC=10,AB=20,得又∠ACB为锐角,所以∠ACB≈41°.
作CM⊥BA,交BA的延长线于点M,
则∠BCM=30°+∠ACB≈71°.
所以乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解答角度问题的解决策略
解决这类问题一定要搞清方向角,画出符合题意的图形,将所给距离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角的关系,确定解题步骤.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向,距小岛A 12 n mile的B处,发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西10°方向行驶,测得其速度为每小时10 n mile,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数据:sin 38°≈0.62)探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如右图所示,AC所在射线即为走私船航行路线,假设巡逻艇在C处截获走私船,巡逻艇的速度为每小时x n mile,则BC=2x,AC=20.
依题意∠BAC=180°-50°-10°=120°,
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°所以BC=28,
因为BC=2x,所以x=14.所以∠ABC≈38°.
而如图所示的Rt△ADB中,∠ABD=40°.
所以∠EBC=90°-38°-40°=12°.
即巡逻艇用每小时14 n mile的速度向北偏东12°的方向航行.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正、余弦定理在力学中的应用
例3如图,在墙上有一个三角形支架OAB,吊着一个重力为12 N的灯,OA,OB都是轻杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受力的大小.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解答力学问题的解决策略
解答与力学有关的三角形问题,要抓住力的方向与大小和受力平衡的关系,准确进行受力分解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3作用在小车A上的两个水平力F1、F2,|F1|=40 N,|F2|=20 N,夹角为60°,小车的摩擦力大小为20 N,则小车在力的作用下能否保持静止?解:如图所示.
在?ABCD中,由题意AB=20,AD=BC=40,∠ABC=120°,
在△ABC中,由余弦定理,得探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究距离测量问题
【角度一】 两点不相通的距离
典例1如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,
所以AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000.所以探究一探究二探究三思维辨析当堂检测【角度二】两点间可视但有一点不可到达
典例2如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出AB的长度,其方法是在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则A,B两点间的距离为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测【角度三】 两点都不可到达
典例3如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出AB的距离,其测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中,应用余弦定理计算出AB.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向,经过40分钟后,测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向,则灯塔和轮船原来的距离是 海里.?解析:如图所示:M为灯塔,C为轮船,
∠MBC=180°-75°-30°=75°,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船正以a n mile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是 an mile/h,问甲船应沿着 方向前进,才能最快与乙船相遇??因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,
所以∠DAC=60°-30°=30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.答案:北偏东30° 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.如图,某人在离地面高度为15 m的A处,测得电视塔底B处的俯角为30°,塔顶C处的仰角为60°,求电视塔的高.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
