第十章复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
课后篇巩固提升
1.复数i-3的虚部是( )
A.3 B.-3
C.1 D.i
解析复数i-3的虚部是1.故选C.
答案C
2.若z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,则实数m的值为( )
A.-2 B.2
C.3 D.-3
解析∵z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,
∴m2+m-6=0,m-2≠0,解得m=-3.故选D.
答案D
3.(多选题)下列命题中,假命题是( )
A.若x,y∈C则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i
C.若x2+y2=0,则x=y=0
D.若a∈R,则(a+1)i为纯虚数
解析A由于x,y∈C,∴x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,A是假命题.
B由于两个虚数不能比较大小,∴B是假命题.
C当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴C是假命题.
D当a=-1时,a∈R,但(a+1)i=0不是纯虚数.
∴D是假命题.
答案ABCD
4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为 ( )
A.1 B.1或-4
C.-4 D.0或-4
解析由复数相等的充要条件得4-3a=a2,-a2=4a.
解得a=-4.故选C.
答案C
5.以2i-5的虚部为实部,以5i-2的实部为虚部的新复数是( )
A.2+i B.2-2i
C.-5+5i D.5+5i
解析以2i-5的虚部为实部,以5i-2的实部为虚部的新复数是2-2i.故选B.
答案B
6.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( )
A.|a|=|b| B.a<0且a=-b
C.a>0且a≠b D.a≤0
解析复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.
答案D
7.若z=sin θ-35+icosθ-45是纯虚数,则tan(θ-π)的值为( )
A.34 B.43
C.-34 D.-43
解析∵z=sin θ-35+icosθ-45是纯虚数,
∴sin θ-35=0且cos θ-45≠0,
即sin θ=35且cos θ≠45,
即cos θ=-45,
则tan θ=35-45=-34,
则tan(θ-π)=tan θ=-34,故选C.
答案C
8.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 .?
解析由题意得m2-2m=0,m2-1>1,解得m=2.
答案2
9.如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x= ,y= .?
解析由复数相等可知,x-1=-3x,y=1,
∴x=14,y=1.
答案14 1
10.下列命题中:①若a∈R,则ai为纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;③两个虚数不能比较大小;④x+yi的实部、虚部分别为x,y.其中正确命题的序号是 .?
解析①当a=0时,0i=0,故①不正确;②虚数不能比较大小,故②不正确;③正确;④x+yi中未标注x,y∈R,故若x,y为复数,则x+yi的实部、虚部未必是x,y.
答案③
11.已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a= .?
解析由M∩N={3}知,3∈M,即有(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,
所以a2-3a-1=3,a2-5a-6=0,
解得a=-1.
答案-1
12.当实数m为何值时,复数z=m2+m-6m+(m2-2m)i为
(1)实数?
(2)虚数?
(3)纯虚数?
解(1)当m2-2m=0,m≠0,
即m=2时,复数z是实数;
(2)当m2-2m≠0,且m≠0,
即m≠0且m≠2时,复数z是虚数;
(3)当m2+m-6m=0,m2-2m≠0,
即m=-3时,复数z是纯虚数.
课件31张PPT。10.1.1 复数的概念一、复数的引入
1.思考
(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4-25.
提示:在有理数集中:x4-25=(x2+5)(x2-5).
在实数集中:
x4-25=(x2+5)(x2-5)(2)虚数单位i有哪些性质?
提示:虚数单位i有如下几个性质:
①i的平方等于-1,即i2=-1;
②实数与i可进行四则运算,并且原有的加法、乘法运算律仍然成立;
③i的乘方:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
2.填空
一般地,为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2=-1,并称i为虚数单位.3.做一做
i4= .?
提示:i4=(i2)2=(-1)2=1.
答案:1二、复数的概念
1.思考
(1)两个复数一定能比较大小吗?
提示:不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小.
(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
提示:不一定,对于复数z=a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.2.填空
复数的有关概念
①复数的概念:一般地,当a与b都是实数时,称①a+bi为复数,复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.
②复数集定义:所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示.因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}.3.做一做
(1)下列命题中是假命题的是( )
A.自然数集是非负整数集
B.实数集与复数集的交集为实数集
C.实数集与虚数集的交集是{0}
D.纯虚数与实数集的交集为空集
解析:搞清复数的分类是解决本题的前提.
答案:C答案:C (3)若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为 .?
解析:由条件知a2-3+2a=0,
∴a=1或a=-3.
答案:1或-3三、复数相等
1.思考
(1)若复数z=a+bi(a,b∈R).z=0,则a+b的值为多少?
提示:0
(2)若复数z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a+b的值为多少?
提示:4
2.填空
两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2.
这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?a=c且b=d.
特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.点拨两个复数不一定能比较大小:
(1)根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.
(2)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必须都是实数(即虚部均为0).
(3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小.3.做一做
(1)若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是( )
A.1,1 B.-1,1
C.1,0 D.1,-1答案:D (2)若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于 .? 答案:-3 四、复数的分类
1.思考
(1)复数z=a+bi在什么情况下表示实数?
提示:b=0.
(2)如何用集合关系表示实数集R和复数集C?
提示:R?C2.填空
不难看出,任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定,虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地,称虚部不为0的复数为虚数,称实部为0的虚数为纯虚数.
对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.
这样,复数z=a+bi可以分类如下:3.做一做
(1)判断正误.
①若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. ( )
②若a为实数,则z=ai一定是虚数. ( )
③如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. ( )
答案:①× ②× ③√
(2)若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.-1或1答案:A (3)实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i
①是实数;②是虚数;③是纯虚数;④是0.
解:由m2+5m+6=0,得m=-2或m=-3,由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.
①当m2-2m-15=0时,复数z为实数,
∴m=5或m=-3;
②当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数,
∴m≠5且m≠-3.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数的概念
例1判断以下命题是否正确?
(1)复数由实数、虚数、纯虚数构成;
(2)两个复数一定不能比较大小;
(3)复数m+ni中,实部和虚部分别是m和n;
(4)在复数a+bi(a,b∈R)中,若a≠0,则a+bi一定不是纯虚数;
(5)满足x2=-1的数x只能是i;
(6)若a∈R,则复数(a+2)i是纯虚数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)不正确.复数是由实数和虚数构成的,虚数中包含纯虚数;
(2)不正确.复数不一定能比较大小,当两个复数都是实数时,它们就可以比较大小;
(3)不正确.对于复数m+ni,由于没有条件“m,n∈R”,所以其实部和虚部不一定等于m和n;
(4)正确.在复数a+bi(a,b∈R)中,只要a≠0,不论b=0还是b≠0,它一定不是纯虚数;
(5)不正确.满足x2=-1的数x=±i;
(6)不正确.当a=-2时,复数(a+2)i就是实数0,不是纯虚数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如:两数大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.
2.两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等,要先确定是否为代数形式,确定实部、虚部后再应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1设复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的必要不充分条件是( )
A.a=0 B.a=0且b≠0
C.a≠0且b=0 D.a≠0且b≠0
解析:由纯虚数的概念可知a=0得不到z=a+bi为纯虚数,z=a+bi为纯虚数可得到a=0,则选项A符合.选项B中a=0且b≠0是复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件.选项C,D中是z=a+bi为纯虚数的既不充分也不必要条件,故选A.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数的分类 (1)是实数?
(2)是虚数?
(3)是纯虚数?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测∴当m=3或m=-2时,z是纯虚数. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时,要采用复数的标准形式的代数式,若不是复数的标准代数形式,应先化为复数的标准代数形式z=a+bi(a,b∈R),再依据概念判断.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究三复数相等
例3(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y;
(2)已知关于x,y的方程组探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2(1)若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a= .?答案:-4 (2)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测易错点1 对复数的概念理解不透彻致误
典例1在下列命题中,正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小;②若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2;③若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数.
A.0 B.1 C.2 D.3探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正解:当两个复数都是实数时,是可以比较大小的,故①是错误的;
设z1=3+2i,z2=4+2i,它们虚部相等,z1≠z2,故②是错误的,③当a=b=0时,a-b+(a+b)i=0是实数,故③错误,因此选A.
辨析两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的,①中忽视了这一特殊情况导致错误;而错解②将虚数与纯虚数概念混淆,事实上纯虚数集是虚数集的真子集,在代数形式上,纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a+bi(a,b∈R,且b≠0).③中要保证a+b≠0才可能是纯虚数.
点评复数有许多与实数不同的性质,在引用实数的一些结论时,一定要考虑在复数集中是否还成立,如两个实数可以比较大小,但不全为实数的两个复数就不能比较大小.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测易错点2 错将复数大小比较与实数大小比较相混淆
典例2求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值情况.正解:由-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i,可得 辨析1.不要想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大,而忽视了只有实数才能比较大小的前提,因此本题中的复数应为实数.
2.两个复数能比较大小,前提是两个复数都是实数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.设i是虚数单位,m,n为实数,复数z=m+ni为虚数,则 ( )
A.m=0 B.n≠0
C.m=0且n≠0 D.mn≠0
解析:若复数是虚数,则n≠0,故选B.
答案:B
2.复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是( )
A.1 B.i C.-1 D.-i
解析:复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是-1.故选C.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知m∈R,设复数z=(m2-2m-3)+(m2-1)i.若复数z为纯虚数,实数m= .?答案:3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)若z是虚数,求m的取值范围;
(2)若z是纯虚数,求m的值.
