第十章复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.2 复数的几何意义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.复数z=1-4i的共轭复数是( )
A.1+4i B.-4+i C.-1+4i D.-1-4i
解析复数z=1-4i的共轭复数是z=1+4i.故选A.
答案A
2.复数z=3+i3对应的点在复平面第几象限( )
A.一 B.二 C.三 D.四
解析由i2=-1,z=3-i,对应点坐标为(3,-1).
答案D
3.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的轨迹是( )
A.直线
B.线段
C.圆
D.单位圆以及圆内的部分
解析∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,
∴点z的轨迹是在以原点为圆心,1为半径的圆及其内部,故选D.
答案D
4.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB对应的复数为( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
解析∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),
∴向量OB对应的复数为-2+i.
答案B
5.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
解析在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于y轴对称.
答案B
6.当23
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析∵23∴3m-2>0,m-1<0,
∴点(3m-2,m-1)在第四象限.
答案D
7.已知复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复平面内的点z的轨迹是( )
A.实轴 B.虚轴
C.原点 D.虚轴除去原点
解析a=0时,z=bi,复平面内的点z的轨迹是虚轴.
答案B
8.已知复数z=x-2+yi的模是22,则点(x,y)的轨迹方程是 .?
解析由模的计算公式得
(x-2)2+y2=22,
∴(x-2)2+y2=8.
答案(x-2)2+y2=8
9.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 .?
解析由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.
答案5
10.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .?
解析∵z1=2-3i,
∴z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3).
∴z2=-2+3i.
答案-2+3i
11.设z=(1+i)sin θ-(1+icos θ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tan θ的值为 ,若θ∈0,π2,则z= .?
解析由题意,得sin θ-1+sin θ-cos θ+1=0,
∴tan θ=12.
若θ∈(0,π2),
则sin θ=55,cos θ=255,
则z=(1+i)55-(1+255i)=55-1-55i.
答案12 55-1-55i
12.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.
解因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),
所以a=(-3,0),b=-12,m.
又a,b的夹角为60°,
所以cos 60°=(-3,0)·-12,m(-3)2+02·-122+m2,
即12=32314+m2,
解得m=±32.
能力提升
1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
解析A(6,5),B(-2,3),
∵C为AB的中点,∴C(2,4),
∴点C对应的复数为2+4i,故选C.
答案C
2.已知0A.(1,3) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,5)
解析|z|=a2+1,∵0∴1答案B
3.已知复数z=a+3i在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于( )
A.-1+3i B.1+3i
C.-1+3i或1+3i D.-2+3i
解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限,
所以a<0,
由|z|=2知,a2+(3)2=2,
解得a=±1,
故a=-1,所以z=-1+3i.
答案A
4.若复数x=sin θ-35+cosθ-45i(θ∈R)是纯虚数,则cos θ+icos 2θ共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析∵复数x=sin θ-35+cosθ-45i(θ∈R)是纯虚数,
∴sinθ-35=0,cosθ-45≠0,
即sin θ=35,cos θ=-45.
则cos 2θ=1-2sin2 θ=1-2×352=725.
∴cos θ+icos 2θ共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
答案C
5.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因A,B为锐角三角形的两个内角,
所以A+B>π2,
即A>π2-B,sin A>cos B.
cos B-tan A=cos B-sinAcosA又tan B>0,
所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限,故选B.
答案B
6.已知复数z1=cos x+2f(x)i,z2=(3sin x+cos x)+i,x∈R,在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为( )
A.-14 B.14 C.-12 D.12
解析由题意,Z1(cos x,2f(x)),Z2(3sin x+cos x,1),
∴∠Z1OZ2=90°,
∴3sin xcos x+cos2x+2f(x)=0,
即2f(x)=-32sin 2x-1+cos2x2=-32sin 2x-12cos 2x-12,
∴f(x)=-12sin2x+π6?14,
则函数f(x)的最大值为14.故选B.
答案B
7.复平面内长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C所对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,则D点对应的复数为 .?
解析由题意可知A(2,3),B(3,2),C(-2,-3),
设D(x,y),则AD=BC,即(x-2,y-3)=(-5,-5),
解得x=-3,y=-2.
故D点对应的复数为-3-2i.
答案-3-2i
8.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的值是 .?
解析由复数的几何意义可知,OC=xOA+yOB,
即(3,-2)=x(-1,2)+y(1,1),
∴y-x=3,2x-y=-2,
解得x=1,y=4.∴x+y=5.
答案5
9.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z.
解∵z为纯虚数,
∴设z=ai(a∈R且a≠0),
又|-1+i|=2,
由|z-1|=|-1+i|,得a2+1=2,
解得a=±1.
∴z=±i.
10.已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点),OZ与实轴正向的夹角为120°,OZ终点Z在第二象限,且复数z的模为2,求复数z.
解根据题意可画图形如图所示:
设点Z的坐标为(a,b),a<0,b>0.
∵|OZ|=|z|=2,∠xOZ=120°,
∴a=-1,b=3,
即点Z的坐标为(-1,3),
∴z=-1+3i.
课件35张PPT。10.1.2 复数的几何意义一、复平面的概念和复数的几何意义
1.思考
(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗?
提示:不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系?
提示:第一象限的点对应的复数特点:实部为正,且虚部为正;
第二象限的点对应的复数特点:实部为负,且虚部为正;
第三象限的点对应的复数特点:实部为负,且虚部为负;
第四象限的点对应的复数特点:实部为正,且虚部为负.2.填空
(1)复平面的概念
如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为虚轴.(2)复数的几何意义
一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi?点Z(a,b).这是复数的一种几何意义.复数还有另外一种几何意义:在平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以3.做一做
(1)判断正误.
①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上. ( )
②在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. ( )
③复数的模一定是正实数. ( )
答案:①√ ②× ③×
(2)复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限.
答案:C(3)已知复数z=i,复平面内对应点Z的坐标为( )
A.(0,1) B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
答案:A
(4)向量a=(1,-2)所对应的复数是( )
A.z=1+2i B.z=1-2i
C.z=-1+2i D.z=-2+i
答案:B二、复数的模、共轭复数
1.思考
复数的模的几何意义是什么?
提示:复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:
①满足条件|z|=r的点Z的集合为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|r表示圆的外部;
②满足条件|z-z0|=r的点Z的集合为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|r表示圆的外部.2.填空
(1)共轭复数
一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有 =a-bi.
显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.
结论:
①设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
a.z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.
b.z1,z2互为共轭虚数的充要条件是a=c且b=-d≠0.3.做一做
(1)判断正误.
①两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件. ( )
②若z1,z2∈C,且z1+z2=0,则z1=z2=0. ( )
③两个共轭虚数的差为纯虚数. ( )
④在复平面内,两个共轭复数的对应点关于实轴对称. ( )
答案:①× ②× ③√ ④√(2)已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为( )
A.1或3 B.1
C.3 D.2 解得m=1或3,故选A.
答案:A
(3)已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|= .?(4)复数z=4+5i的共轭复数是 .?
答案:4-5i探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数与点的对应
例1已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;
(2)在第三象限;
(3)在直线y=x上.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测例2试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点的集合分别是什么图形.
(1)y=2;
(2)1≤x≤4;
(3)x=y;
(4)|z|≤5.
解:(1)复数z对应点的坐标是(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实轴平行的直线.
(2)复数对应的点为(x,y),而1≤x≤4,所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线).
(3)复数对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平面的第一、三象限的平分线.
(4)复数对应的点是(x,y),而|z|≤5的集合是一个以原点为圆心,半径等于5的圆的内部,包含圆的边界.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.确定复数对应的点在复平面内的位置时,关键是理解好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或不等式求解.
2.确定复数对应点的集合的图形时,首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点
(1)在虚轴上;
(2)在第二象限;
(3)在直线y=x上.
分别求实数m的取值范围.
解:复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.即m的取值范围为(-1,1).
(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2.
∴m=2.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数与向量的对应 A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟
(1)以原点为起点的向量对应的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.
(2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离,类比向量的模,可以进一步引申|z-z1|表示点Z到点Z1之间的距离.如|z-i|=1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数的模及其计算 A.1+2i B.-1-2i
C.±1±2i D.1+2i或-1-2i答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离;
2.求复数的模时,应先确定复数的实部与虚部,再套用复数模的计算公式计算求解;
3.若两个复数相等,它们的模一定相等;反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等;
4.两个复数不一定能比较大小,但复数的模一定可以比较大小.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解析:∵z为实数,∴a2-a-6=0,
∴a=-2或a=3.
当a=-2时,z无意义.当a=3时,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测共轭复数及其应用
例5已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.
思路分析根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x,y.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练4如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )
A.A
B.B
C.C
D.D
解析:因为互为共轭复数对应的两个点关于实轴对称,所以图中表示z的共轭复数的点是B.故选B.
答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测与复数的模有关的直观想象、数学抽象问题
典例已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
思路分析由题目可获取以下主要信息:
①已知复数及其模的范围;
②求复数虚部的取值范围.
解答本题可利用模的直观想象求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),
由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.设复数z=-1+2i,(i为虚数单位),则复数z的共轭复数 在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是( )
A.z1>z2
B.z1C.|z1|>|z2|
D.|z1|<|z2|答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:9 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,求|z|.