第十章复数
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0 B.2i C.6 D.6-2i
解析z=3-i-(i-3)=6-2i.
答案D
2.已知复数z满足1-z=2+i,则|z|=( )
A.10 B.5 C.3 D.2
解析复数z满足1-z=2+i,可得-z=1+i,
所以|z|=12+12=2.故选D.
答案D
3.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.
∵z1+z2所对应的点在实轴上,
∴1+a=0,∴a=-1.
答案D
4.设复数z满足z-i=3+i,则|z|=( )
A.5 B.3 C.13 D.4
解析由z-i=3+i,解得z=3+2i,所以z=3-2i,
则|z|=32+(-2)2=13.故选C.
答案C
5.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
解析|AB|=|2i-1|=5,|AC|=|4+2i|=20,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.
答案A
6.如图在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,复数z=z1+z2,则复数z所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析由分式的几何意义得z1=1+2i,z2=1-i,则z=z1+z2=1+2i+1-i=2+i,对应点的坐标为(2,1),位于第一象限.故选A.
答案A
7.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是( )
A.5 B.6
C.5+1 D.5-1
解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,
则z的几何意义是以C(2,-1)为圆心,半径为1的圆,|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离,则最大值为|OC|+1=22+(-1)2+1=5+1.故选C.
答案C
8.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|= .?
解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|=32+42=5.
答案5
9.已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=43,则a+b= .?
解析∵z1-z2=32a+(a+1)i-[-33b+(b+2)i]=32a+33b+(a-b-1)i=43,
由复数相等的条件知32a+33b=43,a-b-1=0,
解得a=2,b=1.∴a+b=3.
答案3
10.已知z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β且z1-z2=513+1213i,则cos(α+β)的值为 .?
解析∵z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,
∴z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β)=513+1213i,
∴cosα-cosβ=513,①sinα+sinβ=1213,②
由①2+②2得2-2cos(α+β)=1,
即cos(α+β)=12.
答案12
11.在复平面内,O是原点,OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么OB对应的复数为 ,BC对应的复数为 .?
解析 OB=OA+AB=(-2+i)+(1+5i)=-1+6i,
BC=OC?OB=(3+2i)-(-1+6i)=4-4i.
答案-1+6i 4-4i
12.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是2+i,向量BA对应的复数是1+2i,向量BC对应的复数是3-i,求C点在复平面内的坐标.
解∵AC=BC?BA,
∴AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,
设C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i,
∴x+yi=(2+i)+(2-3i)=4-2i,
故x=4,y=-2.
∴C点在复平面内的坐标为(4,-2).
能力提升
1.设向量OP,PQ,OQ对应的复数分别为z1,z2,z3,那么 ( )
A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0
C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0
解析∵OP+PQ=OQ,
∴z1+z2=z3,
即z1+z2-z3=0.
答案D
2.设z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i(i为虚数单位),且|z1+z2|=5,则( )
A.(x+3)2+(y-4)2=5 B.(x+3)2+(y-4)2=25
C.(x-3)2+(y+4)2=5 D.(x-3)2+(y+4)2=25
解析由z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i,得
z1+z2=(x+yi)+(3-4i)=(x+3)+(y-4)i,
又|z1+z2|=5,
∴(x+3)2+(y-4)2=5,
即(x+3)2+(y-4)2=25.
故选B.
答案B
3.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,∴P为△ABC的外心.
答案A
4.?ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是( )
A.2-3i B.4+8i
C.4-8i D.1+4i
解析 AB对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则DC对应的复数为(3-5i)-z.
由平行四边形法则知AB=DC,
∴-1+3i=(3-5i)-z,
∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.
故选C.
答案C
5.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|( )
A.最小值为1,无最大值
B.最大值为1,无最小值
C.恒等于1
D.无最大值,也无最小值
解析设复数z=x+yi,其中x,y∈R,
由|z-i|=|z+3i|,得
|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|,
∴x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,
解得y=-1;
∴|z|=x2+y2=x2+1≥1,
即|z|有最小值为1,没有最大值.故选A.
答案A
6.非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量OA,OB,若|z1+z2|=|z1-z2|,则( )
A.OA⊥OB B.|OA|=|OB|
C.OA=OB D.OA和OB共线
解析在四边形OACB内,OC=OA+OB,AB=OB?OA,
∵非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量OA,OB,
则由复数加法的几何意义可知,
|z1+z2|对应OC的模,|z1-z2|对应AB的模,
则|OC|=|AB|,
由OC=OA+OB,AB=OB?OA,
可知三边长OACB为平行四边形,则四边形OACB为矩形.∴OA⊥OB.故选A.
答案A
7.设复数z满足z+|z|=2+i,则z= .?
解析设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=x2+y2.
∴x+yi+x2+y2=2+i.
∴x+x2+y2=2,y=1,
解得x=34,y=1.
∴z=34+i.
答案34+i
8.复数z1=cos θ+i,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为 ,最小值为 .?
解析|z1-z2|=|(cos θ-sin θ)+2i|
=(cosθ-sinθ)2+4
=5-2sinθcosθ
=5-sin2θ,
当sin 2θ=-1得最大值6,
当sin 2θ=1得最小值2.
答案6 2
9.设z=a+bi(a,b∈R),且4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,又ω=sin θ-icos θ,求z的值和|z-ω|的取值范围.
解∵4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,
∴6a+2bi=33+i,
∴6a=33,2b=1,∴a=32,b=12.
∴z=32+12i,
∴z-ω=32+12i-(sin θ-icos θ)
=32-sinθ+12+cosθi
∴|z-ω|=32-sinθ2+12+cosθ2
=2-3sinθ+cosθ
=2-232sinθ-12cosθ
=2-2sinθ-π6,
∵-1≤sinθ-π6≤1,
∴0≤2-2sinθ-π6≤4,
∴0≤|z-ω|≤2,
故所求得z=32+12i,|z-ω|的取值范围是[0,2].
10.已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=12+32i,求复数z1,z2及|z1-z2|.
解由于|z1+z2|=12+32i=1.
设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为OA,OB,OC,
则|OA|=|OB|=|OC|=1,
故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.
易得:cos∠AOC=12,
故∠AOC=60°,
又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形,
∴?OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,
即∠AOB=120°.
又∵OC与x轴正半轴的夹角为60°,
∴点A在x轴上,即A(1,0).
而xB=|OB|cos 120°=-12,yB=|OB|sin 120°=32,
∴点B的坐标为-12,32.
∴z1=1,z2=-12+32i,或z1=-12+32i,z2=1.
∴|z1-z2|=±32-32i=3.
课件26张PPT。10.2.1 复数的加法与减法一、复数的加法与减法的运算法则
1.思考
(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
提示:是复数,唯一确定.
(2)若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?
提示:不能,
例如可取z1=3+2i,z2=2i.2.填空
(1)复数的加、减法法则
一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称 z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,
由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是实数.
一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2) .?
一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
(2)复数加法运算律
复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).3.做一做
(1)判断正误.
①复数加法运算符合实数加法的运算律. ( )
②复数与复数相加减后结果只能是实数. ( )
③一个复数减去另一个复数等于这个复数加上另一个复数的相反数. ( )
答案:①√ ②× ③√
(2)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于 ( )
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
答案:B
(3)已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0 B.2i C.6 D.6-2i
答案:D二、复数加法、减法的几何意义
1.思考
(1)复数加法、减法的几何意义如何用文字叙述?
提示:复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义.
复数的减法可按照向量的减法来进行,这是复数减法的几何意义.
(2)复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些?请举例说明.
提示: ①设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何意义,可得复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|.
②|z-z1|=r(r>0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆.
③|z-z1|=|z-z2|,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.2.填空
(1)复数加法、减法的几何意义(2)性质
由复数加法、减法的几何意义可以得出
||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|答案:B 解析:(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.
答案:0答案:-1-7i 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数的加法、减法运算
例1计算:(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i);
(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i);
(3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,b∈R).
解:(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.
(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.
(3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟复数的加法、减法运算
(1)复数的加法、减法运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与虚部合并,注意符号是易错点;
(2)复数的加法、减法运算的结果仍是复数;
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算;
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1计算: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数加法、减法运算的几何意义
例2已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为1+i,4+3i,-1+3i.试求:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
解:如图所示.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数模的最值问题
例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )解析:如图,设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,
|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.
所以|z+i+1|min=1.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)若复数z满足|z+ +i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
解:如图所示,反思感悟1.|z1-z2|表示复平面内,复数z1,z2对应的点Z1与Z2之间的距离,在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式;
2.涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究若本例题(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
解:因为|z|=1且z∈C,作图如下:
所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2 -1.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是将模长问题转化为距离问题,将看上去抽象的有关复数模的表达式,转化为直观形象的图形问题,体现了“数学探索”的核心素养
典例已知z∈C,指出下列等式所表示的几何图形:
(1)|z+1+i|=1;
(2)|z-1|=|z+2i|.
解:(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.
(2)以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义
设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.
2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
(1)判断点的集合.
(2)利用几何知识解决代数问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )
A.-2 B.4 C.3 D.-4
解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,z的虚部是4,故选B.
答案:B
2.已知复数z满足z-2i=1(其中i为虚数单位),则|z|= ( )答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .?答案:6 11 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.计算:
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
解:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=-7i+5-9+8i+3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.=1+i.
