2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第2章2.4 　数量积的定义Word版含解析

2.4　向量的数量积
第1课时　数量积的定义
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)
2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)
3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.
一、向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考1：两个向量的数量积是向量吗？
[提示]　两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．
思考2：数量积的大小和符号与哪些量有关？
[提示]　数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．
二、两个向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．
2．范围：0°≤θ≤180°.
3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？
[提示]　角．
三、向量的数量积的运算律及性质
1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2．数量积的性质：
(1)a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a·b|≤|a||b|；
(3)a⊥b?a·b＝0.
3．数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
思考4：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
[提示]　向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．
思考5：向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？
[提示]　不一定相同．
1．已知|a|＝3，|b|＝6，则
(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；
(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；
(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.
(1)18　(2)9　(3)0　[(1)a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18.
(2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝＝9.
(3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0.]
2．试指出图中向量的夹角，
图①中向量与的夹角________；
图②中向量与的夹角________；
图③中向量与的夹角________；
图④中向量与的夹角________．
[答案]　θ　0°　180°　θ
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________．
　　[a在b上的投影为|a|cos 45°＝3×＝；b在a上的投影为|b|cos 45°＝5×＝.]
向量数量积的运算及几何意义
【例1】　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
思路点拨：借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
[解]　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2
＝8－15－27
＝－34.
1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
1．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
[解]　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
求向量的模
【例2】　已知向量＝a，＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.
思路点拨：根据已知条件将向量的模利用|a|＝转化为数量积的运算求解．
[解]　∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×＝8，
∴|a＋b|＝＝
＝＝4，
|a－b|＝＝
＝＝4，
|3a＋b|＝＝
＝＝4.
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________.
　[因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，
所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)，故|b|＝.]
求向量的夹角
【例3】　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
思路点拨：解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos θ＝求得夹角．
[解]　由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0，①
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝b2，
代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
1．求向量a，b夹角的流程图：
→→→
2．若两非零向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a·b≠－|a||b|.
提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]．
3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ.
[解]　∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
数量积的几何意义
[探究问题]
1．设非零向量a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示a在b上的投影．
提示：a在b上的投影为|a|cos θ，
又cos θ＝，∴|a|cos θ＝.
2．数量积a·b＝|a||b|cos θ的几何意义是什么？
提示：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积．
　已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
思路点拨：分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可．
[解]　由题意可知
∴|a|＝6，|b|＝3，
∴cos θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，∴θ＝.
1．(变结论)若本例中条件不变，求|2a＋b|.
[解]　由本例解答可知|a|＝6，|b|＝3，θ＝，
∴|2a＋b|＝
＝＝.
2．(变条件)已知a·b＝－9，a为单位向量，a在b方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
[解]　由题意可知|a|cos θ＝＝－，
∴|b|＝18，
∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
1．投影是个数量，可正、可负、可为零．
2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cos θ＝；b在a上的投影为|b|cos θ＝.
教师独具
1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量的夹角和向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．
2．要掌握与数量积相关的三个问题
(1)数量积的计算．
(2)向量的模的计算．
(3)向量的夹角及垂直问题．
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b＝0；③a≠0，b≠0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
1．下面给出的关系式中不正确的是(　　)
A．0·a＝0
B．a2＝|a|2
C．a·b≤|a||b|
D．(a·b)2＝a2·b2
D　[(a·b)2＝a2·b2·cos2θ.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
[答案]　B
3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________．
　[|a|cos θ＝＝.]
4．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
[解]　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，
∴|b|＝.
∵a·b＝，
∴|a|·|b|cos θ＝，
∴cos θ＝，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.