2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修5学案：第2章2.3.2 　等比数列的概念及通项公式Word版含解析

2.3　等比数列
2.3.1　等比数列的概念
2.3.2　等比数列的通项公式
第1课时　等比数列的概念及通项公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)
2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)
3.会证明一个数列是等比数列．(难点)
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.
1．等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
思考1：观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….
[提示]　从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数．
思考2：若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？
[提示]　不一定．当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故{an}不一定为等比数列．
2．等比数列的通项公式
如果数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
3．等比中项
(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.
(2)若数列{an}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1·an＋1.
思考3：任意两个非零常数都有等比中项吗？若有，有几个？
[提示]　当ab>0时，a，b的等比中项有两个，且这两个数互为相反数；当ab<0时，a，b没有等比中项．
1．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1　　　　B．－1　　　　C．±1　　　　D．2
C　[设2＋和2－的等比中项为a，
则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.]
2．下列数列为等比数列的序号是________．
①2,22,3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0.
②　[≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
　[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.]
4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.
－729　[由等比数列定义知＝＝＝q.
所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，
a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，
a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]
等比数列的通项公式及应用
【例1】　在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
[解]　(1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么
解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
1．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
[解]　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，∴a5＝405.
(2)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝.
等比中项
【例2】　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4　　　B．4　　　C．±　　　D.
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
思路探究：(1)用定义求等比中项．
(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．
(1)A　[由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.]
(2)[证明]　b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
等比中项应用的三点注意
?1?由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
?2?在一个等比数列中，从第二项起，每一项?有穷数列的末项除外?都是它的前一项和后一项的等比中项.,?3?a，G，b成等比数列等价于G2＝ab?ab>0?.
2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　)
A．± B. C．1 D．±1
D　[由题知2a＝1＋3，
∴a＝2.
由b2＝4得b＝±2，
∴＝±1.]
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
B　[∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.]
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示]　能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．
2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示]　能．根据等比数列的定义可知．
【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明]　∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是等比数列．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
[解]　因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，
从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列．
所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.
判断一个数列{an}是等比数列的方法
?1?定义法：若数列{an}满足＝q?q为常数且不为零?或f(an,an－1)＝q?n≥2，q为常数且不为零?，则数列{an}是等比数列.
?2?等比中项法：对于数列{an}，若a2n＋1＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列.
?3?通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1?a1≠0，q≠0?，则数列{an}是等比数列.
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(q为与n无关的常数且不为零)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　)
(3)常数列一定为等比数列．(　　)
(4)任何两个数都有等比中项．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　
[提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　　)
A．±　　　B．±2　　　C.　　　D．－2
D　[因为＝q3＝－8，故q＝－2.]
3．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
4n－1　[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]
4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解]　依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝.而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.