2020北师版九上数学第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定习题课件（29张PPT）

课件29张PPT。第一章　特殊平行四边形
1　菱形的性质与判定
第1课时1.菱形的概念:
有一组邻边_____的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质:
(1)菱形具有___________的一切性质.
(2)菱形的四条边_____.
(3)菱形的对角线互相_____.
(4)菱形是轴对称图形,它有___条对称轴.相等平行四边形相等垂直两【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.菱形是平行四边形.　( )
2.菱形的四个角相等.　( )
3.菱形的对角线垂直且相等.　( )
4.菱形的每条对角线平分一组对角.　( )
5.菱形是轴对称图形但不是中心对称图形.　( )√××√×知识点 菱形的性质与应用
【示范题】如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别是边BC,AD的中点.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.【思路点拨】(1)首先根据菱形的性质,得到AB=BC=AD=CD, ∠B=∠D,结合点E,F分别是边BC,AD的中点,即可证明出△ABE ≌△CDF.
(2)首先证明出△ABC是等边三角形,结合∠B=60°,AB=4,即可求出AE的长.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D,
∵点E,F分别是边BC,AD的中点,∴BE=DF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,
∵点E是边BC的中点,∴AE⊥BC,
在Rt△AEB中,∠B=60°,∴∠BAE=90°-∠B=30°.
又∵AB=4,∴BE= AB=2,
由勾股定理得 【想一想】
在这个问题中,四边形AECF是什么形状的四边形?当∠B=60°时,可得△ACF和△DCF全等吗,那么∠B≠60°呢?
提示:四边形AECF是平行四边形.当∠B=60°时,△ACF和△DCF全等,当∠B≠60°时,△ACF和△DCF不全等.【微点拨】
1.菱形的对角线所在的直线是它的对称轴.
2.菱形的两条对角线把它分成四个全等的直角三角形.
3.与菱形有关的问题常转化为等腰三角形或直角三角形求解.【方法一点通】
菱形性质的“三个应用”
1.边、角性质的应用:进行有关边、角的位置或数量关系的证明、计算.
2.对角线性质的应用:进行有关边角的证明、计算.
3.菱形对称性的应用:解决图形的旋转和折叠问题.1　菱形的性质与判定
第2课时1.菱形的判定:
(1)定义:有一组_____相等的平行四边形是菱形.
(2)判定定理:
①对角线_________的平行四边形是菱形.
②_____相等的四边形是菱形.
2.菱形的面积:菱形的面积等于两条对角线___________.邻边互相垂直四边乘积的一半【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.一组邻边相等,一组对边平行的四边形是菱形.　( )
2.有一组邻边相等的四边形是菱形.　( )
3.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.　( )
4.一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.　( ) ××√√知识点一 菱形的判定与应用
【示范题1】如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC外角的平分线,已知∠BAC=∠ACD.
(1)求证:△ABC≌△CDA.
(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.【解题探究】(1)在△ABC和△CDA中,已知∠BAC=∠ACD,AC为公共边,还要证明什么条件,才能证明△ABC≌△CDA.
提示:还要证明∠DAC=∠ACB.先由AB=AC,得到∠B=∠ACB,再根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC,推出∠DAC= ∠ACB,根据ASA证明△ABC和△CDA全等.(2)由∠B=60°,可得AB=BC,还要证明什么条件,才能证明四边形ABCD是菱形.
提示:还要证明四边形ABCD是平行四边形,由已知条件推出AB∥CD,AD∥BC即可.【尝试解答】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB,∵AD平分∠FAC,
∴∠FAC=2∠CAD,∴∠CAD=∠ACB,
∵在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA.(2)∵∠DAC=∠ACB(已证),∴AD∥BC,
∵∠BAC=∠ACD,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠B=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.【想一想】
在本题中,当∠B=60°时,CD是△ABC外角的平分线吗?为什么?
提示:CD是△ABC外角的平分线.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=∠BAC=∠ACD=60°,
∴∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠DCE,
∴CD是△ABC外角的平分线.【微点拨】
1.菱形的定义是常用的一种判定方法.
2.仅有邻边相等或对角线垂直的四边形不一定是菱形.
3.菱形的判定和性质常结合在一起应用.【方法一点通】
菱形的常用判定方法注:因菱形的特殊性在边和对角线上,因此不论是菱形的性质还是判定,一般是从“边”和“对角线”的角度解题.知识点二 与菱形面积有关的计算
【示范题2】如图所示,已知菱形的周长为40cm,两对角线之比为3∶4.求菱形ABCD的面积.【思路点拨】根据菱形的性质,求出菱形的边长→根据勾股定
理求出两条对角线的长度→根据菱形的面积公式S= ab(a,b分
别为菱形的两条对角线的长度)求出结果.【自主解答】∵菱形的周长为40cm,∴AB=10cm.
∵AC∶BD=3∶4,∴AO∶BO=3∶4,
∵AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,有OB2+OA2=AB2.
设AO=3x,BO=4x,即(3x)2+(4x)2=100,
∴x=2,
∴OA=6cm,OB=8cm.
∴AC=12cm,BD=16cm.
S菱形ABCD= AC×BD=96(cm2).【想一想】
对角线互相垂直的四边形的面积是否都能用两对角线长度乘积的一半来计算?请举例说明.
提示:可以,如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD.
∵AC⊥BD,∴S△ABD= AO·BD,
S△BCD= OC·BD,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
= AO·BD+ OC·BD= BD·(AO+OC)
= BD·AC.【备选例题】如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形.
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.【解析】(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE∥BC且2DE=BC,
又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形,
又∵BE=FE,∴四边形BCFE是菱形.(2)∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,
∴△EBC是等边三角形,
∴菱形的边长为4,高为2 ,
∴S菱形BCFE=4×2 =8 .【方法一点通】
菱形的面积公式
(1)菱形的面积=底×高.
(2)如果菱形两条对角线的长分别为a和b,那么菱形的面积
= ab.