2020北师版九上数学第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定习题课件（26张PPT）

课件26张PPT。3　正方形的性质与判定
第1课时1.正方形的概念:有一组邻边_____,并且有一个角是_____的
平行四边形.
2.正方形的性质:
(1)正方形具有_____与_____的一切性质.
(2)正方形的四个角都是_____,四条边_____.
(3)正方形的对角线___________________.
(4)正方形是轴对称图形,它有__条对称轴.相等直角矩形菱形直角相等相等且互相垂直平分43.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系:【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.矩形具有正方形的一切性质.　( )
2.正方形对角线的长大于边长.　( )
3.边长为1的正方形,其对角线的长为 .　( )
4.正方形有无数条对称轴.　( )×√√×知识点 正方形的性质与应用
【示范题】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF.
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则
GE=BE+GD成立吗?为什么?【思路点拨】(1)四边形ABCD为正方形→△CEB≌△CFD→CE=CF.
(2)CE=CF→∠ECF=∠BCD=90°→∠GCE=∠GCF→△ECG≌△FCG→EG=FG=GD+DF→GE=BE+GD.【自主解答】(1)在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.
(2)GE=BE+GD成立.
理由是:∵由(1)得:△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).
∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.【想一想】
在(1)(2)条件下,若AB=BC=12,BE=4, DE的长是多少?
提示:连接DE,
∵AB=BC=12,BE=4,
∴AE=8.
在Rt△ADE中,由勾股定理,得
【微点拨】
1.正方形既是有一个角是直角的菱形,又是有一组邻边相等的矩形.
2.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.【方法一点通】
正方形的性质
1.边:四条边都相等,两组对边分别平行.
2.角:四个角都相等且都是直角.
3.对角线:对角线互相垂直平分且相等,并且每条对角线平分一组对角.
4.对称性:正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形.3　正方形的性质与判定
第2课时1.正方形的判定定理:
(1)对角线_____的菱形是正方形.
(2)对角线_____的矩形是正方形.
(3)有一个角是_____的菱形是正方形.相等垂直直角2.中点四边形与原四边形的关系:
(1)任意四边形的中点四边形是___________.
(2)对角线相等的四边形的中点四边形是_____.
(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是_____.
(4)对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是_______.平行四边形菱形矩形正方形【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.邻边相等的矩形是正方形.( )
2.一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.( )
3.一条对角线平分一组对角的矩形是正方形.( )
4.顺次连接平行四边形四边中点得到的是正方形.( )√×√×知识点一 正方形的判定与应用
【示范题1】如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB.
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND
是正方形.【解题探究】(1)∠ADB和∠CDB分布在两个三角形中,先证明什么条件,才能证明∠ADB=∠CDB?
提示:根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性质即可得到∠ADB=∠CDB.
(2)由∠ADC=90°和已知条件可得四边形MPND是什么样的四边形?再证明什么条件,才能证明四边形MPND是正方形.
提示:由∠ADC=90°和已知条件可得四边形MPND是矩形,再由PM=PN可得四边形MPND是正方形.【尝试解答】(1)∵对角线BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD,
∴∠ADB=∠CDB.
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,
∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.
又∵∠ADB=∠CDB,∴PM=PN,∴四边形MPND是正方形.【想一想】
从对角线角度怎样判定正方形?
提示:(1)对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.
(2)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
(3)对角线相等的菱形是正方形.
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.【微点拨】
1.如果已知四边形是矩形,再证明其是菱形,即可判定其是正方形.
2.如果已知四边形是菱形,再证明其是矩形,即可判定其是正方形.
3.如果已知一个一般四边形,只要再证明其既是菱形又是矩形,即可判定其是正方形.【方法一点通】
判定正方形的一般思路知识点二 中点四边形
【示范题2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,且AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是正方形.【思路点拨】先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD判定四边形EFGH是正方形.
【自主解答】在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,
故可得:EF= AC,同理FG= BD,GH= AC,HE= BD,
∵AC=BD,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形.
在△ABD中,E,H分别是AB,AD的中点,则EH∥BD,同理GH∥AC,
又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴∠EHG=∠BOC=90°,
∴四边形EFGH是正方形.【想一想】
在本题中,如果没有AC=BD这一条件,那么四边形EFGH是什么形状的四边形?请说明理由.
提示:四边形EFGH是矩形,
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,
∴∠EHG=∠BOC=90°,
∴四边形EFGH是矩形.【备选例题】在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接EF,FG,GH,HE.
试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.【解析】添加条件为AC=BD.
证明:连接AC,BD,由E,F,G,H分别是所在边的中点,知EF∥AC,且
EF= AC,GH∥AC,且GH= AC,∴GH∥EF,且GH=EF,四边形EFGH是
平行四边形.
同理EH= BD,又∵AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH是菱形.【方法一点通】
中点四边形的“两点性质”
1.中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.
2.中点四边形的面积为原四边形面积的一半.