人教A版高中数学 选修2-2 第一章 1．5．3定积分的概念 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
1.5 定积分的概念
从求曲边梯形面积以及求变速直线运动路程可以发现，它们都是通过“四步曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.都采用了在局部小范围内“以直代曲”“以不变代变”和“逼近”的思想.



新课导入
“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌芽．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes ，287 BC～212 BC）等人提出的计算面积和体积的方法．
这节我们学习定积分的概念.
1.5.3 定积分的概念
解决曲边梯形面积和变速直线运动的共同特征：
都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和的极限、取极限来解决问题.
最终的结果都归结为求同一种类型的和式.
教学目标



知识与能力

理解定积分的概念、性质以及其在生活实践中的应用.
过程与方法
在研究曲边梯形面积和变速直线运动路程的基础上，通过概括它们的共同特征而引入定积分概念，给出定积分的几何意义与基本性质.
情感态度与价值观
了解解决曲边梯形面积和变速直线运动的共同特征，引出定积分概念.给出定积分定义，加深学生对定积分概念的理解.
教学重难点



重点
定积分的概念、几何定义.
难点
定积分的概念.
曲边梯形面积
变速运动的路程


o
x
y



y=0
y=?(x)
x=a
x=b
a
b
B
A

设函数f (x)在区间[a,b]上有界．在区间[a,b]内任意插入n-1个分点，


把区间[a,b]分成n个小区间


各个小区间的长度依次为
定积分的概念
在每个小区间
上任取一点


作和式：
被积函数


被积表达式


积分变量


积分上限
积分下限
积分和
为积分符号，函数f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限， b称为积分上限，区间[a,b]称为积分区间．
（2）若 ，则
定积分的几何意义
（1）若 ，则





?
?
?












?
?
?






由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则
为偶数个时，
为奇数个时.
（3）若f(x)有正有负， 则
a
b
几何意义：
它是由曲线y=f(x)直线x=a,x=b(a 总之：定积分 在各种实际问题中所代表的实际意义不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示，这就是定积分的几何意义.
定积分的性质
性质１可推广到有限个函数的情形．
即被积函数的常数因子可以提到积分号外．
(1) 性质1
(2) 性质2
(k为常数)
结论：函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和.
证明：
性质1证明
结论：常数因子乘以函数的定积分，常数因子可以提到积分的符号外面来.
证明：
性质2证明
对定积分的补充规定:
(3) 性质3
（1）当a=b时，
（2）当a>b时，

如果f(x)分别在[a,b],[a,c],[c,b]上可积，那么f(x)在[a,b]上的定积分等于f(x)在[a,c][c,b]上的定积分的和.
性质3证明
我们用定积分的几何意义加以说明：




























































当a 总之，不论c点在[a,b]内还是[a,b]外，只要上述两个积分存在，那么，性质3总是正确的.
你想到了吗？
(4) 性质4
如果在区间[a,b]上 ,则
根据极限的性质，必有
(5) 性质5
设a 只需令F(x)=f(x)-g(x),利用性质4及性质2可得证.
(6) 性质6
(7) 性质7
（定积分中值定理）
设f(x)在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上，至少存在一点 使得
证明：由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，存在数M和m，使m≤f(x) ≤M,a ≤x ≤b,根据性质5，有 即
或
可见数 介于 m 和M 之间，根据闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间〔a ,b〕上至少存在一点 ，使 ,即 或
为曲边的曲边梯形面积，等于以 为高， 为底的矩形的面积.
定积分中值定理，由定积分的几何意义去理解更直观，以连续曲线





























广义积分
常义积分满足：
积分区间[a,b]为有限的闭区间；
被积函数f(x)在[a,b]上有界.

广义积分： 无穷限积分；
无界函数的积分.




课堂小结
概念总结：定积分 是一种特定形式的和式 的极限，即 表示当 时，和式 所趋向的定值.
定积分



课堂练习
1、
证一证
设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值则
利用定义计算
2、
3、练习
计算：
计算：



课堂答案
证明：
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
1、
解：
①将[0，1]n等分，
②
③求和
④
即
2、
解： 由几何意义
解：如图
3、