17.2 勾股定理的逆定理同步练习题（含答案）

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人教版八年级下册易错题专题
17.2 勾股定理的逆定理
一．选择题（共2小题）
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（　　）
A．如果∠C-∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2-a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
2．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B-∠C；②a2＝（b＋c）（b-c）；③a：b：c＝3：4：5．
其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个



二．填空题（共3小题）
3．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝cm，∠BAC＝120°，点P在BC上从C向B运动，点Q在AB、AC上沿B→A→C运动，点P、Q分别从点C、B同时出发，速度均为1cm/s，当其中一点到达终点时两点同时停止运动，则当运动时间t＝ s时，△PAQ为直角三角形．


4．如图，某小区有一块直角三角形绿地，量得直角边AC＝4m，BC＝3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一条直角边的直角三角形，则扩充的方案共有 种．


5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到坐墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面 米．






三．解答题（共10小题）
6．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：
路径 编号 图例 行径位置
第一条路径 R1 _ A→C→D→B
第二条路径 R2 … A→E→D→F→B
第三条路径 R3 ▂ A→G→B
已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．






7．阅读：所谓勾股数就是满足方程x2＋y2＝z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：x＝（m2-n2），y＝mn，z＝（m2＋n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝3时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．





8．阅读：所谓勾股数就是满足方程x2＋y2＝z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：x＝，y＝mn，z＝，其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数．
应用：当n＝5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．






9．清明时节，某校八年级近300名师生前往山东曲阜、台儿庄两地，参加为期三天的研学旅行活动．途中在某服务区短暂停歇后，1号大巴车以80km/h的速度离开服务区向西北方向行驶，3号大巴车在同时同地以60km/h的速度向东北方向行驶，问：它们离开服务区0.5h后相距多远？





10．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；
（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；
（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？











11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．










12．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13m，梯子底端离墙角的距离BO＝5m．
（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离
BD＝4m吗？为什么？
（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？








13．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子蜡烛，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？



14．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．








15．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了5km到达目的地C点．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）确定目的地C在营地A的什么方向上．





参考答案及详细解析
一.选择题
1.答案：D.
解：A、∠C-∠B＝∠A，即∠A＋∠B＝∠C，又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
B、c2＝b2-a2，即a2＋c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；
C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；
D、a＝3，b＝5，c＝4，32＋52≠42，但是32＋42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．
故选：D．
2.答案：D.
解：①∵∠A＝∠B-∠C，
∴∠A＋∠C＝∠B，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴①正确；
②a2＝（b＋c）（b-c），
∴a2＝b2-c2，
∴a2＋c2＝b2，
∴△BAC是直角三角形，∴②正确；
③∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2＋b2＝25k2，c2＝25k2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
故选：D．

二.填空题
3. 解：①当PA⊥AB时，△PAQ是直角三角形．
∵∠B＝30°，AB＝，
∴PA＝1，PB＝2，
∵BC＝3，
∴PC＝1，
∴t＝1s时，△PAQ是直角三角形．
②当PQ⊥AB时，△PAQ是直角三角形．
此时BQ＝PB，
∴t＝（3-t），
∴t＝6-9，
∴t＝（6-9）s时，△PAQ是直角三角形．
③当点Q在AC上时，PA⊥AC时，△PAQ是直角三角形，
此时PC＝2，t＝2，
∴t＝2s时，△PAQ是直角三角形．
综上所述，t＝1或2或（6-9）s时，△PAQ是直角三角形．
故答案为1或2或（6-9）．

4.解：如图所示：

故答案是：3．

5. 解：如图．
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，BD＝2.2-0.7＝1.5（米），BD2＋A′D2＝A′B2，
∴A′D2＋1.52＝6.25，
∴A′D2＝4，
∵A′D＞0，
∴A′D＝2米，
故答案是：2．


三.解答题
6. 解：第一条路径的长度为＋＋＝2＋，
第二条路径的长度为＋＋1＋＝＋＋＋1，
第三条路径的长度为＋＝2＋，
∵2＋＜2＋＜＋＋＋1，
∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B．

7. 解：分三种情况：
（1）当x＝8 时，
（m2-32）＝8，
解得m1＝5，m2＝-5（舍去），
∴y＝mn＝15，
z＝（52＋32）＝17；
（2）当y＝8时，
3m＝8，解得m＝
而m为奇数，所以舍去；
（3）当z＝8时，
（m2＋32）＝8，解得m＝±，而m为奇数
∴m＝±舍去，
综上所述，当n＝3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．

8. 解：∵n＝5，直角三角形一边长为12，
∴有三种情况：
①当x＝12 时，．
解得m1＝7，m2＝-7（舍去）．
∴y＝mn＝35．
∴．
∴该情况符合题意．
②当y＝12时，
5m＝12，
．
∵m为奇数，
∴舍去．
③当z＝12时，，
m2＝-1，
此方程无实数解．
综上所述：当n＝5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37．

9. 解：根据题意得：80×0.5＝40（km），60×0.5＝30（km），
根据勾股定理得：＝50（km），
则0.5h后两辆大巴车相距50km．

10.解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，
如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD＝r，BC＝2r
则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：

（）
（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：＝；
（3）∵
＝
∴第二种包装的空间利用率大．


11.解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴，
∵CD＝12，AD＝13，
∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，
AD2＝169，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴∠C＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE＝．
12.解：（1）∵AO⊥DO，
∴AO＝，
＝，
＝12m，
∴梯子顶端距地面12m高；
（2）滑动不等于4m，
∵AC＝4m，
∴OC＝AO-AC＝8m，
∴OD＝，
＝，
∴BD＝OD-OB＝，
∴滑动不等于4m．
（3）AB上的中点到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13.解：已知如图：设AC＝x，则BC＝（70-x）cm，

由勾股定理得：502＝x2＋（70-x）2，
解得：x＝40或30，
若AC为斜边，
则502＋（70-x）2＝x2，
解得：x＝，
若BC为斜边，
则502＋x2＝（70-x）2，
解得：x＝．
故这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或cm或cm．


14. 解：（1）是．
理由：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24-AM-BN＝18-x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（18-x）2＝x2＋36，
解得x＝8；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝36＋（18-x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．


15. 解：（1）过B点作直线EF∥AD，

∴∠DAB＝∠ABF＝60°，
∵∠EBC＝30°，
∴∠ABC＝180°-∠ABF-∠EBC＝180°-60°-30°＝90°，
∴△ABC为直角三角形，由已知可得：BC＝5km，AB＝5km，
由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2，
所以AC＝＝10（km），
即：A、C两点之间的距离为10km；
（2）在Rt△ABC中，∵BC＝5km，AC＝10km，
∴∠CAB＝30°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
即点C在点A的北偏东30°的方向上．







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