(共26张PPT)
11.3.1 平行直线与异面直线
一、平行直线与等角定理
1.思考
(1)同一平面内,若两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.空间中是否有类似规律
提示:有.
(2)观察下图中的∠AOB与∠A'O'B'.
①这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系
提示:分别对应平行.
②测量一下,这两个角的大小关系如何
提示:相等.
(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,且方向都相反,那么这两个角的大小关系怎样 若方向一个相同一个相反呢
提示:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,那么这两个角相等;方向一同一反时,这两个角互补.
2.填空
(1)平行直线
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
②平行于同一条直线的两条直线互相平行,也称空间平行线的传递性.
(2)等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
3.做一做
(1)已知空间两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.60°或120°
解析:∵α与β的两边对应平行,∴α与β相等或互补,故β为60°或120°.
答案:D
(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.不确定
答案:B
(3)如图,AA'是长方体ABCD-A'B'C'D'的一条棱,那么长方体中与AA'平行的棱共有 条.
解析:∵四边形ABB'A',ADD'A'均为长方形,
∴AA'∥BB',AA'∥DD'.
又四边形BCC'B'为长方形,
∴BB'∥CC',∴AA'∥CC'.
故与AA'平行的棱共有3条,它们分别是BB',CC',DD'.
答案:3
二、异面直线
1.思考
立交桥是伴随高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通,而且成为城市建设的美丽风景.为了车流畅通,并安全地通过交叉路口,1928年,美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年,芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年,瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥.从此,城市交通开始从平地走向立体.
问题1:在同一平面内,两直线有怎样的位置关系
提示:平行或相交.
问题2:若把立交桥抽象成若干条直线,它们是否在同一平面内 有何特征
提示:不共面,既不相交也不平行.
问题3:观察一下,教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线,是否也具有类似特征
提示:是.
2.填空
(1)异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线.
(2)异面直线的画法:
为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托,如图所示.
(3)异面直线的一种判断方法:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
3.做一做
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 .
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 .
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 .
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
答案:(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
三、空间四边形
1.思考
如图所示,A,B,C,D四点不共面,顺次连接ABCD得一四边形ABCD.请问该四边形的对角线是什么 它们之间有何位置关系
提示:该四边形的对角线是AC和BD,它们是异面直线(其中该四边形也就是本节研究的空间四边形).
2.填空
空间四边形可以看成由一个四面体的 构成的图形.
答案:不共面 空间四边形ABCD 相邻顶点间 不相邻 4条棱
3.做一做
如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD.
因为EH是△ABD的中位线,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
空间平行线的传递性的应用
例1如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'.
证明:因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,
所以BE∥B'E',且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形.
所以EE'∥BB',同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究在例1中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形.
证明:如图所示,连接A'C',
因为M,N分别是A'D',C'D'的中点,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
等角定理的应用
例2已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解:如图所示,连接EE1,
因为E1,E分别为A1D1,AD的中点,
所以A1E1 AE.
所以四边形A1E1EA为平行四边形,
所以A1A E1E.
又因为A1A B1B,
所以E1E B1B,
所以四边形E1EBB1是平行四边形,
所以E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同,
所以∠BEC=∠B1E1C1.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行,∠A=70°,则∠B= .
解析:因为∠A的两边和∠B的两边分别平行,
所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.
又∠A=70°,所以∠B=70°或110°.
答案:70°或110°
探究一
探究二
探究三
当堂检测
异面直线的判断
例3
如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线
解:由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在直线分别与直线BA'是异面直线.
反思感悟判断两直线是否为异面直线,只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交,也不平行,就是异面直线.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对 分别是哪几对
解:还原的正方体如图所示.有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )
A.共面
B.平行
C.异面
D.平行或异面
解析:若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
答案:D
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面
B.相交或异面
C.异面
D.相交
解析:由直观想象知,它和另一条直线相交或异面.
答案:B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对.
解析:如图所示,
在长方体AC1中,与体对角线AC1成异面直线的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线.
答案:6
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有 对.
解析:AP与BC异面,BP与AC异面,PC与AB异面.
答案:3
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:∠BGC=∠FD1E.
解:因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,
所以CE GD1,BF GD1.
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E,GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边分别对应平行,并且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
课后篇巩固提升
1.如果直线a,b相交,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b∥α或b与α相交
C.b与α相交
D.b在α内
答案B
2.异面直线是指( )
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.空间中既不平行也不相交的两条直线
解析对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.∴A应排除.
对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除.
对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除.
只有D符合定义.故选D.
答案D
3.(多选题)用a,b,c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题,其中真命题是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.若a∥y,b∥y,则a∥b
D.若a⊥y,b⊥y,则a∥b
解析根据空间中平行直线的传递性可知A正确;
在长方体模型中容易观察出B中a,c还可以平行或异面;
C中a,b还可以相交或异面;
D是真命题.故选AD.
答案AD
4.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是( )
A.直线GH和MN平行,GH和EF相交
B.直线GH和MN平行,MN和EF相交
C.直线GH和MN相交,MN和EF异面
D.直线GH和EF异面,MN和EF异面
解析易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为中点,由平面基本事实3可知EF,DC,MN交于一点.故选B.
答案B
5.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则( )
A.a∥c
B.a,c是异面直线
C.a,c相交
D.a,c平行或相交或异面
解析a,b,c的位置关系有下面三种情况,如图所示,由图形分析可得答案为D.
答案D
6.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
( )
A.异面
B.相交
C.平行
D.异面或相交
解析如图所示,a,b是异面直线,AB,DE都与a,b相交,过点B作BF∥a,设过BF,b的平面α,则D∈平面α,E 平面α,AB 平面α,所以AB,DE异面.故选D.
答案D
7.已知a,b,c均是直线,则下列命题中,必成立的是( )
A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若a与b异面,b与c异面,则a与c也是异面直线
解析A中a,c可以平行,A不正确;B中a,c可以平行或异面,B不正确;由平行直线的传递性可知C正确,D中a,c可以平行或相交.故选C.
答案C
8.设a,b,c表示直线,给出以下四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a∥c.以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题 .
解析由两平行线中一条直线垂直一条直线,则另一直线也垂直这条直线,即④① ②.
答案④① ②
9.空间中角A的两边和另一个角B的两边分别平行,A=70°,则B= .
解析∵A的两边和B的两边分别平行,
∴A=B或A+B=180°.
又A=70°,∴B=70°或110°.
答案70°或110°
10.已知a,b,c是空间中的三条直线,a∥b,且a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为 .
解析本题考查空间中直线的夹角问题.因为a∥b,所以a,b与c的夹角相等.因为a与c的夹角为θ,所以b与c的夹角也为θ.
答案θ
11.如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.
证明(1)在△ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形,∴EH⊥GH.
故AC⊥BD.
