人教A版高中数学 选修4-1 第一讲 三 相似三角形的判定以及性质 上课课件(共45张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学 选修4-1 第一讲 三 相似三角形的判定以及性质 上课课件(共45张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 813.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-14 20:44:43 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
新课导入
回顾旧知
以上图形相似，怎么才能判断相似呢？
有什么方法判断两图形相似？定义法？
观 察
C
A
B
C
A
B
相似三角形的定义？
如果
那么
ΔABC∽ΔA′B′C′
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.
探讨
C
A
B
判断两三角形相似的方法？
定义法
定义法太复杂!
还有其它方法吗？
思考
1.3 相似三角形的判定及性质
1．掌握相似三角形的定义以及3个判定定理.
2．掌握直角三角形的特殊性质及判定.
3. 掌握相似三角形的性质.
知识与能力
教学目标
1．通过初中学习相似三角形的定义，进一步学习和掌握相似三角形的判定和性质.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
过程与方法
1．通过相似三角形的定义，推导出其它的判定定理.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
情感态度与价值观
相似三角形的判定定理和性质.
重点
教学重难点
灵活应用相似三角形的性质和判定进行计算和证明.
难点
研讨
定义法！
D
A
C
B
E
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
根据相似三角形的定义：
ΔADE∽ΔABC
以上能得出什么结论？
研讨
D
A
C
B
E
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∠A是对顶角.
根据相似三角形的定义：
ΔADE∽ΔABC
知识要点
预备定理
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
已知：在△ABC 和△A′B′C′中,
求证:ΔABC∽ΔA′B′C′
A
B
C
A′
C′
B′
分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径.
一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；
另一个是预备定理.
怎样满足预备定理的条件？
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A′B′,AE=A′C′，连结DE.
A
B
C
A′
C′
B′
D
E
∵AD=A′B′,∠A=∠A′，AE=A′C′
∴ ΔA DE≌ΔA′B′C′，
∴ ∠ADE=∠B′，
又∵ ∠B′=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC.
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
知识要点
判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
探究
A
B
C
A '
C '
B '
判定定理1是从三角形的三个角来证明三角形相似，能不能从三角形的角和边一起考虑，来证明相似呢？
角和边！
思考
A
B
C
A '
C '
B '
分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C'，要证题目结论，只需要证明ADE∽ABC.
根据预备定理，只要证明DE//BC，题意即证.
由AD=A'B',AE=A'C'及条件
有：
能否由 推出DE//BC?
D
E
已知：在△ABC 和△A ' B ' C ' 中,
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
思考
ΔABC，D,E分别在边AB、AC上，
求证：DE//BC
证明
证明
过D点作DE'//BC,交AC于E'，根据平行线分线段成比例定理的推论，
所以：AE=AE',E和E'重合，
因此，DE//BC.
A
B
C
D
E
E'
知识要点
引理
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
由以上引理，就可以解决之前提出的：
已知两条边对应成比例，且夹角相等
证明这两个三角形相似.
A
B
C
A '
C '
B '
一个角，两条边，证明相似？
知识要点
判定定理2
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.
探究
A
B
C
A '
C '
B '
判定定理2是从三角形的一个角和两条边来证明三角形相似，能不能从三角形的三条边来证明相似呢？
三条边！
思考
知识要点
判定定理3
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形似．即三边对应成比例，两三角形相似.
A
B
C
A '
C '
B '
在ΔABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过D点作DE//BC,交AC于E点，于是有：
已知：在△ABC 和△A ' B ' C '中,
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
D
E
证明
结论
三边对应成比例，两三角形相似.
A
B
C
A '
C '
B '
研讨
直角三角形是一种特殊的三角形，有一个角是直角，三条边满足勾股定理.所以，在判断两个直角三角形相似，可不可以类推一般三角形相似的判断定理，条件可不可以简化呢？
直角三角形相似，如何判定！
思考
A
B
C
A '
C '
B '
知识要点
定理
1. 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.
2. 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
已知：在Rt△ABC 和Rt△A ' B ' C ' 中,
求证:RtΔABC∽ Rt A ' B ' C '
证明
A
B
C
A '
C '
B '
由判定定理3 得 RtΔABC∽RtΔA'B'C'.
知识要点
定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
依据下列各组条件判定两三角形是否相似？
1．∠A= 45 , AB =12cm , AC =15cm ,
∠A′= 45°, A′B′=16cm , A′C′=20cm ;
2．∠B=∠B′=75°, ∠C=50°, ∠A′=55°;
3．∠B= ∠B′=75°, ∠A=50°, ∠A′=55°;
4． AB=12cm,AC=15cm,A′B′=16cm,A′C′=20cm
5． AB = 4cm , AC = 5cm , BC = 6cm,
A′B′= 16cm , A′C′= 20cm , B′C′= 24cm ;
小练习
相似 (判定2)
相似 (判定1)
不相似
不相似
相似 (判定3)
如果已知两个三角形相似，你能得出他们有哪些一般性质呢？
从边长，高，周长，面积，考虑！
探讨
画一画，比一比！
知识要点
性质定理：
1.相似三角形对应高的比、对应中位线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
研究
提问：
两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比、与相似比有什么关系？
A
B
C
D
A '
B '
C '
D '
思考
如上图：三角形ABC与A ' B ' C '相似，AD、A ' D '分别是三角形ABC和A ' B ' C '外接圆的直径，
求：直径比、周长比、面积比、与相似比有什么关系？
D
A
B
C
A '
B '
C '
D '
连接BD、B ' D '
∠ABD= ∠A ' B ' D ' =90°
根据以上可得出结论
知识要点
结论：
1.相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比.
2.相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方.
课堂小结
1、预备定理
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
为判定定理做准备！
2、判定定理
定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：
两角对应相等，两三角形相似 .
定理2： 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似 .
引理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 .
定理3： 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形似．即三边对应成比例，两三角形相似 .
注意：判定定理的运用！
3、定理
1. 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.
2. 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
3. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
4、相似三角形的性质
1.相似三角形对应高的比、对应中位线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
性质的灵活运用！
5、相似三角形外接圆的结论
1.相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比.
2.相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方.
A
B
C
D
A '
B '
C '
D '
随堂练习
1.下列各对三角形中一定不相似的是 （ ）
A.△ABC中， ∠A=54°， ∠B = 78°
△A ' B ' C '中,∠C ' =48°，∠B ' = 78°
B.△ABC中， ∠C=90°，AC=4，BC=3
△A ' B ' C '中, ∠C ' =90°，A ' C ' =12，B ' C ' =15
C.△ABC中,∠B=90°，AB=5，AC=13
△A ' B ' C '中, ∠B′=90°，A ' B ' =2.5，B ' C ' =6
D.△ABC中, ∠C=90°，∠A=45°,AB=5
△A ' B ' C '中, ∠A ' =45°，A ' B ' =5
D
2. 在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中共有（ ）对相似三角形.
B
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
3. 已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE.
求证：MN=MB
证明:
新课导入
回顾旧知
以上图形相似，怎么才能判断相似呢？
有什么方法判断两图形相似？定义法？
观 察
C
A
B
C
A
B
相似三角形的定义？
如果
那么
ΔABC∽ΔA′B′C′
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.
探讨
C
A
B
判断两三角形相似的方法？
定义法
定义法太复杂!
还有其它方法吗？
思考
1.3 相似三角形的判定及性质
1．掌握相似三角形的定义以及3个判定定理.
2．掌握直角三角形的特殊性质及判定.
3. 掌握相似三角形的性质.
知识与能力
教学目标
1．通过初中学习相似三角形的定义，进一步学习和掌握相似三角形的判定和性质.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
过程与方法
1．通过相似三角形的定义，推导出其它的判定定理.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
情感态度与价值观
相似三角形的判定定理和性质.
重点
教学重难点
灵活应用相似三角形的性质和判定进行计算和证明.
难点
研讨
定义法！
D
A
C
B
E
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
根据相似三角形的定义：
ΔADE∽ΔABC
以上能得出什么结论？
研讨
D
A
C
B
E
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∠A是对顶角.
根据相似三角形的定义：
ΔADE∽ΔABC
知识要点
预备定理
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
已知：在△ABC 和△A′B′C′中,
求证:ΔABC∽ΔA′B′C′
A
B
C
A′
C′
B′
分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径.
一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；
另一个是预备定理.
怎样满足预备定理的条件？
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A′B′,AE=A′C′，连结DE.
A
B
C
A′
C′
B′
D
E
∵AD=A′B′,∠A=∠A′，AE=A′C′
∴ ΔA DE≌ΔA′B′C′，
∴ ∠ADE=∠B′，
又∵ ∠B′=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC.
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
知识要点
判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
探究
A
B
C
A '
C '
B '
判定定理1是从三角形的三个角来证明三角形相似，能不能从三角形的角和边一起考虑，来证明相似呢？
角和边！
思考
A
B
C
A '
C '
B '
分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C'，要证题目结论，只需要证明ADE∽ABC.
根据预备定理，只要证明DE//BC，题意即证.
由AD=A'B',AE=A'C'及条件
有：
能否由 推出DE//BC?
D
E
已知：在△ABC 和△A ' B ' C ' 中,
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
思考
ΔABC，D,E分别在边AB、AC上，
求证：DE//BC
证明
证明
过D点作DE'//BC,交AC于E'，根据平行线分线段成比例定理的推论，
所以：AE=AE',E和E'重合，
因此，DE//BC.
A
B
C
D
E
E'
知识要点
引理
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
由以上引理，就可以解决之前提出的：
已知两条边对应成比例，且夹角相等
证明这两个三角形相似.
A
B
C
A '
C '
B '
一个角，两条边，证明相似？
知识要点
判定定理2
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.
探究
A
B
C
A '
C '
B '
判定定理2是从三角形的一个角和两条边来证明三角形相似，能不能从三角形的三条边来证明相似呢？
三条边！
思考
知识要点
判定定理3
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形似．即三边对应成比例，两三角形相似.
A
B
C
A '
C '
B '
在ΔABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过D点作DE//BC,交AC于E点，于是有：
已知：在△ABC 和△A ' B ' C '中,
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
D
E
证明
结论
三边对应成比例，两三角形相似.
A
B
C
A '
C '
B '
研讨
直角三角形是一种特殊的三角形，有一个角是直角，三条边满足勾股定理.所以，在判断两个直角三角形相似，可不可以类推一般三角形相似的判断定理，条件可不可以简化呢？
直角三角形相似，如何判定！
思考
A
B
C
A '
C '
B '
知识要点
定理
1. 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.
2. 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
已知：在Rt△ABC 和Rt△A ' B ' C ' 中,
求证:RtΔABC∽ Rt A ' B ' C '
证明
A
B
C
A '
C '
B '
由判定定理3 得 RtΔABC∽RtΔA'B'C'.
知识要点
定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
依据下列各组条件判定两三角形是否相似？
1．∠A= 45 , AB =12cm , AC =15cm ,
∠A′= 45°, A′B′=16cm , A′C′=20cm ;
2．∠B=∠B′=75°, ∠C=50°, ∠A′=55°;
3．∠B= ∠B′=75°, ∠A=50°, ∠A′=55°;
4． AB=12cm,AC=15cm,A′B′=16cm,A′C′=20cm
5． AB = 4cm , AC = 5cm , BC = 6cm,
A′B′= 16cm , A′C′= 20cm , B′C′= 24cm ;
小练习
相似 (判定2)
相似 (判定1)
不相似
不相似
相似 (判定3)
如果已知两个三角形相似，你能得出他们有哪些一般性质呢？
从边长，高，周长，面积，考虑！
探讨
画一画，比一比！
知识要点
性质定理：
1.相似三角形对应高的比、对应中位线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
研究
提问：
两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比、与相似比有什么关系？
A
B
C
D
A '
B '
C '
D '
思考
如上图：三角形ABC与A ' B ' C '相似，AD、A ' D '分别是三角形ABC和A ' B ' C '外接圆的直径，
求：直径比、周长比、面积比、与相似比有什么关系？
D
A
B
C
A '
B '
C '
D '
连接BD、B ' D '
∠ABD= ∠A ' B ' D ' =90°
根据以上可得出结论
知识要点
结论：
1.相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比.
2.相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方.
课堂小结
1、预备定理
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
为判定定理做准备！
2、判定定理
定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：
两角对应相等，两三角形相似 .
定理2： 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似 .
引理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 .
定理3： 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形似．即三边对应成比例，两三角形相似 .
注意：判定定理的运用！
3、定理
1. 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.
2. 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
3. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
4、相似三角形的性质
1.相似三角形对应高的比、对应中位线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
性质的灵活运用！
5、相似三角形外接圆的结论
1.相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比.
2.相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方.
A
B
C
D
A '
B '
C '
D '
随堂练习
1.下列各对三角形中一定不相似的是 （ ）
A.△ABC中， ∠A=54°， ∠B = 78°
△A ' B ' C '中,∠C ' =48°，∠B ' = 78°
B.△ABC中， ∠C=90°，AC=4，BC=3
△A ' B ' C '中, ∠C ' =90°，A ' C ' =12，B ' C ' =15
C.△ABC中,∠B=90°，AB=5，AC=13
△A ' B ' C '中, ∠B′=90°，A ' B ' =2.5，B ' C ' =6
D.△ABC中, ∠C=90°，∠A=45°,AB=5
△A ' B ' C '中, ∠A ' =45°，A ' B ' =5
D
2. 在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中共有（ ）对相似三角形.
B
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
3. 已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE.
求证：MN=MB
证明: