人教A版高中数学选修4-4 第二讲 参数方程四 渐开线与摆线 上课课件(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修4-4 第二讲 参数方程四 渐开线与摆线 上课课件(共32张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 344.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-14 20:47:25 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
2.4渐开线和摆线
2.4.1渐开线
2.4.2摆线
把一条没有弹性的细绳绕在
一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅
笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲
线，这条曲线的形状怎样？
探究
导入新课
2.4.1渐开线
知识与能力
1.直观的认识渐开线的形状，
体会它在生活中的应用.
2.培养同学们分析曲线的能力.
教学目标
过程与方法
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律.
2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
1.通过参数方程的感性认识，初步了解渐开线.
认识渐开线.
体会数形结合的意义.
教学重难点
重点
难点
A
B
M
x
o
y
我们来解决新课导入中的问题：
先分析动点（笔尖）所满
足的几何条件，如图所示，
设开始时绳子外端为 于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一
段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM
的长就是弧AB的长，这是动点满足的条件，
我们把笔尖画出的曲线叫圆的渐开线，
相应的圆叫做渐开线的基圆.
）
根据动点的几何条件，设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y)，显然，点M由角 唯一确定.取 为参数，点B的坐标为
，从而：
由于向量 是与 同方向的单位相量，所以向量
与向量 同方向的单位向量，因此
即：
解得： （ 为参数）
这就是圆的渐开线的参数方程
渐开线的应用：在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.
例题
1.当 时，求出渐开线
上对于点A,B,并求出
点A,B间的距离.
解：将 分别代入
得到A,B两点的坐标是，
由两点间的距离公式得，
思考
如果在自行车的轮子上喷一
个白色印记，那么当自行车在笔
直的道路上行驶时，白色印记会
画出什么样的曲线呢？
导入新课
2.4.2摆线
教学目标
知识与能力
1.直观的认识摆线的形状，体会它在
生活中的应用.
2.培养同学们分析曲线的能力.
过程与方法
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律.
2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
通过参数方程的感性认识，初步了解摆线.
教学重难点
重点
难点
认识摆线.
体会数形结合的意义.
A
B
M
O
.
我们来解决新课导入中的问题：
如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图
形，设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时
位于O处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心
滚动作圆周运动，转过 角后，圆与直线
相切于点A，线段OA的长等于弧MA的长，
即OA=r ,
A
B
M
O
.
这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动
过程中满足的几何条件，我们把该曲线
的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线
A
B
M
O
.
x
y
根据题意建立如图
直角坐标系，设圆的半径为r，
设开始时定点M 在原点，
圆滚动了 后与x轴相切于点A，圆心在点B,
从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的
坐标为（x,y）取 为参数,依题意得
因此摆线的参数方程为
（ 为参数）
A
B
M
O
.
x
y
一、选择题（本题每小题7分，共42分）
1.曲线 与X轴交点的直角坐标为（ ）
2.直线 上对应两点间的距离为（ ）
课堂练习
3.直线 （t为参数）的倾斜角是（ ）
4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（ ）
5.直线 是参数被圆 截得的弦长是（ ）
6.在方程 （ 为参数）所表示的曲线
上的点是（ ）
二.填空题（每小题6分，共24分）
1.直线x+y=1的一个参数方程是____
2.椭圆 （ 为参数）的离心率为___
3.将参数方程 转化为直角坐标方
程是___，该曲线上的点与定点A(-1,-1)距离的最
小值是____
4.O是坐标原点，P是椭圆 （ 是参数）
上离心角为 所对应的点，那么直线OP
的倾斜角的正切值是______
三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分）
1.已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为
（1）写出直线的参数方程；
（2）设直线与圆 相交于两点A,B，
求点P 到A,B两点的距离之积。
2.圆的直径AB上有两点C,D，且
|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，
求|PC|+|PD|的最大值.
一.选择题：
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
二.填空题：
1.
参考答案
三.解答题：
1.解：（1）直线的参数方程为
（ 是参数）
（2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为
将直线的参数方程代入圆的方程
并整理得
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为
因为|AC|=|BD|=4，所以
C,D的坐标为:
因为点P在圆上,可设点P的坐标为
所以：
当 时
所以 最大值为
参 数 方 程
参数方程的概念
特殊曲线的到参数方程
参数方程与普通方程的互化
圆锥曲线的参数方程
直线的参数方程
渐开线与摆线的参数方程
本讲知识结构
2.4渐开线和摆线
2.4.1渐开线
2.4.2摆线
把一条没有弹性的细绳绕在
一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅
笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲
线，这条曲线的形状怎样？
探究
导入新课
2.4.1渐开线
知识与能力
1.直观的认识渐开线的形状，
体会它在生活中的应用.
2.培养同学们分析曲线的能力.
教学目标
过程与方法
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律.
2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
1.通过参数方程的感性认识，初步了解渐开线.
认识渐开线.
体会数形结合的意义.
教学重难点
重点
难点
A
B
M
x
o
y
我们来解决新课导入中的问题：
先分析动点（笔尖）所满
足的几何条件，如图所示，
设开始时绳子外端为 于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一
段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM
的长就是弧AB的长，这是动点满足的条件，
我们把笔尖画出的曲线叫圆的渐开线，
相应的圆叫做渐开线的基圆.
）
根据动点的几何条件，设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y)，显然，点M由角 唯一确定.取 为参数，点B的坐标为
，从而：
由于向量 是与 同方向的单位相量，所以向量
与向量 同方向的单位向量，因此
即：
解得： （ 为参数）
这就是圆的渐开线的参数方程
渐开线的应用：在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.
例题
1.当 时，求出渐开线
上对于点A,B,并求出
点A,B间的距离.
解：将 分别代入
得到A,B两点的坐标是，
由两点间的距离公式得，
思考
如果在自行车的轮子上喷一
个白色印记，那么当自行车在笔
直的道路上行驶时，白色印记会
画出什么样的曲线呢？
导入新课
2.4.2摆线
教学目标
知识与能力
1.直观的认识摆线的形状，体会它在
生活中的应用.
2.培养同学们分析曲线的能力.
过程与方法
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律.
2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
通过参数方程的感性认识，初步了解摆线.
教学重难点
重点
难点
认识摆线.
体会数形结合的意义.
A
B
M
O
.
我们来解决新课导入中的问题：
如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图
形，设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时
位于O处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心
滚动作圆周运动，转过 角后，圆与直线
相切于点A，线段OA的长等于弧MA的长，
即OA=r ,
A
B
M
O
.
这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动
过程中满足的几何条件，我们把该曲线
的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线
A
B
M
O
.
x
y
根据题意建立如图
直角坐标系，设圆的半径为r，
设开始时定点M 在原点，
圆滚动了 后与x轴相切于点A，圆心在点B,
从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的
坐标为（x,y）取 为参数,依题意得
因此摆线的参数方程为
（ 为参数）
A
B
M
O
.
x
y
一、选择题（本题每小题7分，共42分）
1.曲线 与X轴交点的直角坐标为（ ）
2.直线 上对应两点间的距离为（ ）
课堂练习
3.直线 （t为参数）的倾斜角是（ ）
4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（ ）
5.直线 是参数被圆 截得的弦长是（ ）
6.在方程 （ 为参数）所表示的曲线
上的点是（ ）
二.填空题（每小题6分，共24分）
1.直线x+y=1的一个参数方程是____
2.椭圆 （ 为参数）的离心率为___
3.将参数方程 转化为直角坐标方
程是___，该曲线上的点与定点A(-1,-1)距离的最
小值是____
4.O是坐标原点，P是椭圆 （ 是参数）
上离心角为 所对应的点，那么直线OP
的倾斜角的正切值是______
三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分）
1.已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为
（1）写出直线的参数方程；
（2）设直线与圆 相交于两点A,B，
求点P 到A,B两点的距离之积。
2.圆的直径AB上有两点C,D，且
|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，
求|PC|+|PD|的最大值.
一.选择题：
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
二.填空题：
1.
参考答案
三.解答题：
1.解：（1）直线的参数方程为
（ 是参数）
（2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为
将直线的参数方程代入圆的方程
并整理得
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为
因为|AC|=|BD|=4，所以
C,D的坐标为:
因为点P在圆上,可设点P的坐标为
所以：
当 时
所以 最大值为
参 数 方 程
参数方程的概念
特殊曲线的到参数方程
参数方程与普通方程的互化
圆锥曲线的参数方程
直线的参数方程
渐开线与摆线的参数方程
本讲知识结构