人教A版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 上课课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
1.2极坐标系
1.2.2极坐标和直角坐标的互化
1.1.1极坐标的概念

请问，去河北师大附小怎么走呀？
从这里向东北偏60°方向走100米就到了
新课导入
从这里向东北偏60°方向走100米就到了

方向

距离
我们一起来分析这句话：
生活中人们常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标 的基本思想。
极坐标系是使用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极坐标系和平面坐标系一样,都是刻画点的位置和运动的参照物,是建立点的集合与坐标的集合的对应关系的桥梁,因此,从集合映射的角度去比较这两种坐标系,可以获得点与坐标之间对关系的整体认识。
极坐标系的认识
1.1.1极坐标的概念
知识与能力
1.体会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置的方法；
2.体会极坐标系的作用；
3.学会建立合理的极坐标系解决实际中的问题。
教学目标
过程与方法
情感态度与价值观
1.根据问题的几何特征选择适当的坐标系；
2.感知极坐标系在现实中的应用；
3.培养良好的观察与思考能力。
1.根据实际问题建立合理极坐标系；
2.进一步了解极坐标系在实际生活中的应用。
1.能够建立适当的极坐标系解决数学问题；
2.极坐标和直角坐标的互化。
1.极坐标的不唯一性；
2.应用极坐标解决几何问题；
3.极坐标和直角坐标的互化。
重点
难点
教学重难点
在平面内取一个定点O,叫做极点；引一条射线OX,叫做极轴;再选定一个长度单位，角度单位 及其正方向（通常取逆时针方向）这样就建立了一个极坐标系。
建立一个极坐标系需要哪些要素？
极点，极轴，角度单位，正方向
如图，设M是平面内任意一点,极点O与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为?;以极轴OX为始边，射线OM为终边的角XOM叫做点M的极角记为?; 有序数对（?，?）叫做M的极坐标。


0
x
例题
1.如图，在极坐标系中，写出点A,B,C,D的极坐标，并标出E , F , G 所在的位置
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
点E,F,G的位置如图所示

想一想？
在直角坐标系中，点与直角坐标
是“一对一的关系”；在极坐标系中，
点与坐标是“一对一”的关系吗？
答案是否定的，在极坐标系中，
由于终边相同的角有无数个，即点的
极角不唯一，因此点与极坐标是“一
对多”的关系。这就是极坐标的
，多极性是极坐标与直角坐标
的重要区别.
多极性
1.给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M.给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。

2.极坐标（?,?）与(ρ，2kπ+θ)( )表示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
小结
1.2.2极坐标和直角坐标的互化
我们学了直角坐标,也学了极坐
标，那么这两种坐标有什么关系呢?
已知点的直角坐标为,如何用极坐标
表示这个点呢?
动动脑筋。。。
以直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位。
极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互化




N
M
X
Y
O
X
Y

设点M的直角坐标(x,y)极坐标是 ( , )，从图中可得它们之间的关系：


(1)
由(1)可得以下关系式
这就是极坐标和直角坐标的互化
，
快快趁热打铁吧。。。
例1.将点M的极坐标 化成直角坐标
解： ，


即点M 的极坐标为（ ， ）
例2.已知点M的极坐标为 ,
求它的直角坐标
解：将点M的极坐标 代入
极坐标与直角坐标互化公式

解得点M的直角坐标为
课堂练习
1.已知点的直角坐标, 求它们的极坐标。
2.将这两点的极坐标 分别化成直角坐标。
3.直角坐标为 的极坐标是( )
A B C D
4.极坐标方程 表示的曲线为（ ）
A. 极点 B.极轴 C.一条直线 D.两条相交直线
5.在极坐标系中与圆 相切的一条直线的
方程为（ ）
B.
C.
D.
A.
6.把方程 化为以t为参数的参数方程是( )
B.
A.
C.
D.




7.极坐标方程 化为直角坐标方程的形式是 （ ）
B．
D.．
A.
8.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点A（2， ), B（2， ),那么顶点C坐标可能是( )
A.
C．
B.
D. (3, )
C.
9.在极坐标系中， 为圆心以 为半径的圆的方程为( )
（提示：利用直角三角形的边、角关系）
1.解：将A的直角坐标代入极坐标与直角坐标互化公式，得

因此点A的极坐标为
同理，点B的极坐标为
点C的极坐标为
2.
3.C
看看你做对了吗？
4.D
5.A
6.D
7.B
8.B
9.

方法与技巧
在做直角坐标与极坐标的互化习题时：
（1）点(x,y) 点(ρ,θ)(x、y、θ∈R，ρ≥0)；
（2）方程f(x,y)=0 方程φ(ρ,θ)=0
[(x,y)适合f(x,y)=0,(ρ,θ)适合φ(ρ,θ)=0]。
在互化中，要重视互化的前提条件（三同前提）
及互化等价性；互化关系式有：
x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tgθ= (x≠0)
极坐标化为直角坐标更符合习惯思维,
有时将直角坐标转化为极坐标更简洁。
→
→
→
→
1、曲线的极坐标方程ρ=4sinθ
化成直角坐标方程为(　)
A. x2+(y+2)2=4 　　B. x2+(y-2)2=4
C. (x-2)2+y2=4 　　 D. (x+2)2+y2=4
针对性练习
解：对方程ρ=4sinθ两边乘以ρ得
　　ρ2=4ρsinθ
　　∵ ρ2=x2+y2, ρsinθ=y,
　　∴ x2+y2=4y,
　　即 x2+(y-2)2=4，应选B。
B


2、以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是(　 ）
B.ρ=2sin(θ- )
C.ρ=2cos(θ-1)　 D.ρ=2sin(θ-1 ）
C
解：设M(ρ,θ)为圆上任一点，
则 |OM|=|OA|cos(θ-1)，
∴ ρ=2cos(θ-1)，故选C
A.ρ=2cos(θ- ）
若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系,则该曲线的极坐标方程是( )
A.ρ=1　　 　 B.ρcos2θ=1
C.ρ2sin2θ=1　　 D.ρ2cos2θ=1
3.已知某曲线的

参数方程是 (φ为参数)

D
解:本题涉及到两类互化，即先将参数程化为普通方程，再化为极坐标方程即可。消去参数φ，化为普通方程为x2-y2=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，就可化为极坐标方程ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1，
即ρ2cos2θ=1，而选D。
A
　B
　　C
D
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的图形是（ ）
B
解：把ρcosθ= ，化为直角坐程，得:
x= ，故排除A、D；又圆ρ=cosθ显然过点(0,1)，又排除C，故选B。

5、若A、B的两点极坐标为A(4, ）B(6,0)，则AB中点的极坐标是____
6、在极坐标系中，由三条直线
围成的图形的面积是______