2020湘教版八下数学1.1直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时习题课（27张PPT）

课件27张PPT。　1.1　直角三角形的性质和判定(Ⅰ)?
第2课时1.知道含有30°角的直角三角形的性质.(重点)
2.会利用直角三角形的性质解决实际问题.(难点)含有30°角的直角三角形的性质
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°.
延长BC到D,使BD=AB,连接AD.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=90°-∠BAC= _____,
∵BD=AB,∴△ABD是_____三角形.
∵AC⊥BC,∴BC=_______.60°等边【思考】
在上面的问题中,如果BC= AB,那么∠BAC=30°吗?
提示:∠BAC=30°.【总结】
(1)含有30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一
个内角等于30°,那么它所对的_______等于_____的一半.
(2)含有30°角的直角三角形的性质的逆运用:在直角三角形中,
如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角
等于_____.直角边斜边30° (打“√”或“×”)
(1)直角三角形中,若有一锐角为30°,则它所对的直角边等于
另一直角边的一半.　( )
(2)在一个三角形中,若有一锐角为30°,则它所对的边等于最
长边的一半.　( )
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,如果AB=2,那么AC=1.
　 ( )
(4)在直角三角形中,若最短边的长是最长边的长的一半,则最
小角是30°.　( )×××√知识点 1 含有30°角的直角三角形的性质应用?
【例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在BC上,且∠BAD=15°.
(1)求∠CAD的度数.
(2)若AC=m,BD=n,求AD的长.【解题探究】(1)①∵AC=BC,由等边对等角可得∠CAB=____.
②由∠C=90°,可得∠CAB=____=_____,
∴∠CAD= _____.
(2)①由AC=m,BD=n,可知CD=BC-BD=___-BD=____.
②由(1)中的结果可知CD=___AD,
∴AD=__CD= _______.∠B∠B45°30°ACm-n22(m-n)【互动探究】在(2)中,如果已知AD=a,那么CD的长是多少?
提示:CD= a.【总结提升】含30°角的直角三角形性质的“两种应用”
1.证明:用来证明三角形中线段的倍分问题.
2.求解:知道30°角所对的直角边的长,求斜边的长,或知道斜边的长,求30°角所对的直角边的长.知识点 2 直角三角形性质的综合应用?
【例2】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC于点A,
(1)求∠BAD的度数.
(2)证明:DC=2BD.【思路点拨】(1)根据垂直的定义可得∠DAC=90°,再由∠BAD=∠BAC-∠DAC即可得出结果.
(2)先得出∠B=∠C=30°,再在直角△ADC中运用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出DC=2AD,然后在△ABD中由等角对等边得出AD=BD,从而证明出DC=2BD.【自主解答】(1)∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.
(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵∠DAC=90°,∴DC=2AD.
∵∠BAD=∠B=30°,
∴AD=BD,∴DC=2BD.【总结提升】直角三角形性质的应用及注意事项
1.性质应用:
30°角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°或60°)的特殊定理,反映了直角三角形中边角之间的关系,主要作用是解决直角三角形中的有关计算或证明问题.
2.两点注意:
(1)必须在直角三角形中,非直角三角形不具备该性质.
(2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半,其他度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.题组一:含有30°角的直角三角形的性质应用
1.已知△ABC≌△DEF,若∠A=60°,∠F=90°,DE=6cm,则AC=　
(　　)
A.3 cm　　　B.4 cm　　　C.5 cm　　　D.6 cm
【解析】选A.∵△ABC≌△DEF,∠F=90°,DE=6cm,
∴∠C=∠F=90°,AB=DE=6cm,∵∠A=60°,∴∠B=30°,
∴AC= AB=3cm.2.如图,等腰△ABC中,∠BAC=120°,BC中点为D,
过D作DE⊥AB于E,AE=4cm,则AD等于　(　　)
A.8 cm　　　　 B.7 cm
C.6 cm　　 D.4 cm
【解析】选A.∵△ABC中,∠BAC=120°,BC中点为D,
∴∠BAD=∠CAD=60°,∵DE⊥AB,∴∠ADE=30°,
∴AD=2AE=8cm.【变式备选】在上面的问题中,AC的长是多少?
【解析】∵△ABC是等腰三角形,∠BAC=120°,
∴∠C=∠B=30°,∴AC=2AD=16cm.3.如图所示,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
BD平分∠ABC,若AD=8,则CD=　　　　.
【解析】在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,所以∠ABC=60°,
因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=30°,
所以∠A=∠ABD,所以AD=BD=8,
所以CD= BD=4.
答案:44.如图,在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,
交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE
的长是　　　　.
【解析】在Rt△FDB中,∵∠F=30°,∴∠DBF=60°,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°.在Rt△AED中,∵∠A=30°,DE=1,∴AE=2.∵DE垂直平分AB,∴BE=AE=2.
答案:25.如图,△ABC中,D为BC边上一点,BD=DC,DA⊥AC,DA= AB.求
∠BAD的大小.【解析】延长AD至E,使DE=AD,连接BE.
因为AD=DE,
∠ADC=∠EDB,CD=BD,
所以△ADC≌△EDB,(SAS)
所以∠DAC=∠E.
因为DA⊥AC,所以∠DAC=∠E=90°.
因为AD= AE,AD= AB,所以AE= AB,
所以在Rt△ABE中,∠ABE=30°,
所以∠BAD=60°.题组二:直角三角形性质的综合应用
1.在△ABC中,若BC= AC,则∠A的度数为　(　　)
A.30° B.60°
C.90° D.无法确定
【解析】选D.由题意虽然知道BC= AC,而∠B的大小不确定,所
以∠A无法确定.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=120°,
如果BC=1,则AB=　　　　.
【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=120°,
∴∠A=∠1-∠C=120°-90°=30°,∴AB=2BC=2×1=2.
答案:23.△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,若AB=12cm,则BC=　　　　.
【解析】因为∠A=30°,∠C=90°,所以BC= AB=
×12=6(cm).
答案:6cm4.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,
AD=2CD,则∠DAB的度数是　　　　.
【解析】因为∠C=90°,AD=2CD,
所以∠CAD=30°.
又因为∠B=∠CAB= =45°,
所以∠DAB=∠CAB-∠CAD=45°-30°=15°.
答案:15°5.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是直角边AC上的点,且AD=BD=2a,∠A=15°,求BC边的长.
【解析】由AD=BD可推出
∠2=∠A=15°,
所以∠1=∠2+∠A=15°+15°=30°.
在Rt△BCD中,∠1=30°,
可推出BC= BD= ×2a=a.【想一想错在哪？】如图,AD∥BC,BD平分
∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,CD=4cm,求BC的长.
提示:没说明△BDC是直角三角形,就直接利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”解题.