(共15张PPT)
2.2 等差数列的前n项和
教学目标：
1、掌握等差数列前n项和公式，能熟练应用等差数列前n项和公式．
2、通过推导公式的过程，使学生体会从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法原理．
3、获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力．
教学重点、难点：
重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会 用公式解决一些实际问题．
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得．
回顾
200多年前，德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
问题导思
类比推理
倒序相加法
总结
例题：
例1：求前n个正奇数的和。
变式训练：
（1）求前n个正偶数的和。
（2）求前n个正整数的和。
课堂小结
课本20页10题，11题
作业
人生的奔跑，不在于瞬间的爆发，而在于途中的坚持。
欢迎指导
高斯,生
于不伦瑞克,
卒于哥廷根,
德国著名数学
家、物理学家、
天文学家、大
地测量学家。量
Ba百
《等差数列的前n项和》教学设计
一、设计理念
通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．
二、背景分析
求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．
三、学情分析
1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。
2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。
3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。
四、教学目标
1、类比高斯算法，探求等差数列前项和公式，理解公式的推导方法；
2、能较熟练地应用等差数列前项和公式解决相关问题；
3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；
4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；
五、教学重点与难点
1、教学重点：等差数列前项和公式的推导和应用
2、教学难点：公式推导的思路
3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，通过教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。
六、教学过程设计
（一）探究等差数列前n项和公式
教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，让学生讲高斯故事。
学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。
问题1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？
教师活动：指导学生快速找出规律。
学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=？
活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，
所以原式=50×（1+101）=5050
问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？
教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。
学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。
活动预设：构造数列：，则有性质：
等差数列中，若，则。
【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。
问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？
方法：倒序相加法 （借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，由此引入倒序相加法）
教师活动：：
由性质“若，则”可得：
（等差数列前项和公式）
【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；
（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；
（二）公式理解和深化
公式一、
问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？
教师活动：引导学生找出变量
学生活动：观察公式，找出变量。
活动预设：此公式中，共有四个变量：，可知三求一。
【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。
问题2：此公式还可进行怎样的变形？
教师活动：引导学生从下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。
学生活动：尝试对公式进行变形。
活动预设：公式二、
【设计意图】（1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；
（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。
问题3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？
教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。
学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。
活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：，可知三求二
（2）若已知，优先选用公式一，若已知，优先选用公式二。
【设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的区别可提高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。
（三）公式应用、反馈评价
课堂练习之“争分夺秒”：
五个元素 a1, an, n, d, Sn ，知 三 求 二
你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗？
变式训练：
例2.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?
解：∵a1=-10,d=-6－(-10)=4
∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54
解得n=9，n=-3(舍)
∴前9项的和是54
变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和
例3已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
教师活动：分析解决问题，组织学生交流、讨论，再进行公式的应用。
【设计意图】透过此题，培养学生 熟练地选取恰当的公式进行求解。
六、布置作业
1.课本P46习题2.3，第1题（1）（3）
七、板书设计
八、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．
一、等差数列前n项和：
二、公式的推导
方法：倒序相加法
三、深化公式
公式1、
公式2、
变形：
（主板书）
四、课堂练习
（副板书）
（辅助性板书）
3.3等差数列前n项和
《等差数列前n项和公式》说课稿
一、设计思想
本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。采用探究活动为主的教学方法，借助教材或教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力。因此，我在此堂课的教学中借助图形拼接演示等差数列的前项和公式，帮助理解，启迪思路，更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美。
二、教材分析
1、教学内容：《等差数列前n项和》主要内容是等差数列前项和的推导过程和简单应用。
2、地位与作用：
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列的前n项和公式及其简单应用。它与前面学过的等差数列的定义、通项公式、性质有着密切的联系；同时，又为后面学习等比数列前n项和、数列求和等内容作好准备。因此，本节课既是本章的重点也是教材的重点。
与几何、函数等其他数学领域知识结合性强，是方程思想等诸多数学思想的学习载体，具有丰富的现实背景
3．教学目标
知识与技能目标：掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，掌握倒序相加法。
情感与态度价值观：使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推理能力。
4．教学重点、难点
重点：等差数列的前n项和公式。
用等差数列前项和公式解决简单实际问题。
难点：等差数列的前n项和公式的推导。
关键通过具体的例子发现一般规律。
三、学情分析
1、认知基础：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。
2、思维特点：正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。思维的严密性需要进一步的加强。
3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。
四、教法分析
数学是一门培养和发展思维的重要学科，因此在教学中要以学生为本，遵循学生的认知规律，展现获取知识和方法的思维过程。在教学中采用以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用。整个教学过程分成问题呈现、探索与发现、应用公式三个阶段。
五、学法分析
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
六、教学流程
上节回顾，铺垫思维——创设情境，提出问题——启发引导，探索发现——类比联想，解决问题——总结公式，进行记忆——变式训练，深化认识——课堂小结，布置作业
七、教学过程设计
（一）上节回顾，铺垫思维
（1）等差数列的定义
（2）通项公式
（2）重要性质：
二）创设情景，提出问题
（二）探究等差数列前n项和公式
教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，征求高斯故事。
问题2：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？
高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050
问题3：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？即1+2+3+····+21=？
借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：
把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形
获得算法：
说明：这是求奇数个项求和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要启发学生观察中间项11与首、尾两项1和21的和它们之间的关系。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇数个项、偶个项两种情况求和。
【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。
问题4：求1到n的正整数之和，即1+2+3+····+n=？
说明：从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对”算法的改进。
设计意图：引导学生实现由图形倒置拼补迁移到数式求和的倒序相加，从而突破本节课的难点。采用由特殊到一般的研究方法.从学生熟悉的知识背景出发,让学生在具体的问题情境中,经历知识的形成和发展,充分体现了新课标“以人为本”,强调“以学生发展为核心”的原则。
（三）类比联想，解决问题
方法2
（四）总结公式，进行记忆
（五）公式应用
例：等差数列中，已知： ,求前n项和及公差d.（教师引导，师生共同完成）
选用公式：根据已知条件选用适当的公式 求出
变用公式：要求公差d，需将公式2变形运用，求d
知三求二 等差数列的五个基本量知三可求另外两个
（六）课堂小结，布置作业
小结：回顾从特殊到一般的研究方法
倒序相加法求和及数形结合，函数与方程的数学思想
掌握等差数列的前n项和公式及简单应用
课后作业：
? 说课小结：问题---探究的教学模式
? 由特殊到一般的研究方法
? 体现了数形结合的数学思想
方法1：
