2020湘教版八下数学第2章四边形2.4三角形的中位线习题课件（31张PPT）

课件31张PPT。2.4　三角形的中位线?1.掌握三角形的中位线定理.(重点)
2.会应用三角形的中位线定理进行计算或证明.(重点、难点)1.三角形的中位线的定义:连接三角形两边_____的线段.
2.三角形中位线定理的证明:
如图,DE是△ABC的中位线,求证:DE∥BC,DE= BC.中点证明：如图，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(____)，
∴AD=CF,DE=FE,∠ADE=∠F,
∴AD∥CF,DE= DF.SAS又∵AD=DB,
∴DB FC,
∴四边形DBCF是___________,
∴DE∥___，DE= DF=_____.平行四边形BC【总结】三角形的中位线定理:
(1)位置关系:三角形的中位线_______第三边.
(2)数量关系:三角形的中位线等于第三边的_____.平行于一半 (打“√”或“×”)
(1)三角形的中位线是直线.　( )
(2)一个三角形只有一条中位线.　( )
(3)一个三角形的周长是36,则以这个三角形各边中点为顶点的
三角形的周长是18.　( )
(4)DE是△ABC的中位线,如果DE=2,那么BC=4.　( )××√×知识点 1 三角形中位线定理的应用
【例1】如图，△ABC的
周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的
平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分
线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为( )【思路点拨】垂直平分线→PQ是△ADE的中位线→计算DE的长
→求PQ的长
【自主解答】选C.∵BQ平分∠ABC,BQ⊥AE,∴△BAE是等腰三角
形,同理△CAD是等腰三角形,∴点Q是AE中点,点P是AD中点(三
线合一),∴PQ是△ADE的中位线,∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-
10=16,∴DE=BE+CD-BC=6,∴PQ= DE=3.【总结提升】三角形的中位线定理的两个结论及四个应用
1.两个结论:
(1)中位线与第三边的位置关系——互相平行.
(2)中位线与第三边的数量关系——中位线等于第三边的一半.
2.四个应用:
(1)求线段的长度.
(2)证明线段相等或平行.
(3)求角的度数.
(4)证明线段的倍分关系.知识点 2 三角形中位线定理的实际应用
【例2】如图,为测量位于
一水塘旁的两点A,B间的距离,在地面上确定
点O,分别取OA,OB的中点C,D,量得CD=20m,则
A,B之间的距离是　　　　m.
【思路点拨】由C,D分别是边OA,OB的中点,首先判定CD是△AOB的中位线,然后根据三角形的中位线定理,由CD的长,求出A,B之间的距离.?【自主解答】∵C,D分别是OA,OB的中点,∴CD是△AOB的中位线.
∴AB=2CD=2×20=40m.
∴A,B之间的距离是40m.
答案:40【总结提升】三角形的中位线的实际应用
三角形中位线的有关知识,常用来解决以测量距离为背景的题目,解题时常先把实际问题转化为数学问题,再分两步走:一定(依照三角形中位线定义,确定哪条线段是三角形的中位线);二算(根据三角形中位线定理,利用三角形的第三边是三角形中位线的2倍进行计算).题组一:三角形中位线定理的应用
1.如图,在△ABC中,点D,E
分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,
则∠C的度数为　(　　)
A.50° B.60°
C.70° D.80°【解析】选C.由题意得∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°,
∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,∴∠C=∠AED=70°.2.已知△ABC的各边长度分别为3cm,4cm,5cm,
则连接各边中点的三角形的周长为　(　　)
A.2 cm B.7 cm C.5 cm D.6 cm
【解析】选D.由三角形的中位线定理可知,连接各边中点的三
角形的周长为 ×(3+4+5)=6cm.【归纳整合】三角形三条中位线的性质
(1)任何一个三角形都有三条中位线.
(2)三条中位线围成的三角形,其周长是原三角形周长的一半,面积为原三角形面积的四分之一.
(3)三条中位线把原三角形分割成4个全等的小三角形,在原三角形中形成三个面积相等的平行四边形.3.如图,在?ABCD中,AB=10,BC=6,E,F分别是AD,DC的中点,若EF=7,则四边形EACF的周长是　(　　)
A.20 B.22 C.29 D.31
【解析】选C.由已知得AE=3,CF=5,AC=2EF=14,故四边形EACF的周长是29.4.如图,在?ABCD中,AC与BD相交于点O,点E
是边BC的中点,AB=4,则OE的长是　(　　)
A.2 B.
C.1 D.
【解析】选A.在?ABCD中,AC与BD相交于点O,故O为AC的中点,又
E是BC的中点,即OE是△ABC的中位线,所以OE= AB=2.5.已知△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F为BC上一点,EF= BC,
∠EFC=35°,则∠EDF=　　　　.
【解析】因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,DE= BC,所
以∠DEF=∠EFC=35°,因为EF= BC,所以ED=EF,所以∠EDF=
∠EFD= ×(180°-35°)=72.5°.
答案:72.5°6.如图,已知E,F是四边形ABCD的边AD,BC的中点,G,H是BD,AC的中点.求证:EF和GH互相平分.【证明】连结EG,GF,FH,EH,
因为E是AD的中点,G是BD的中点,
所以EG?? AB,同理可证FH?? AB,
所以EG?? FH,
所以四边形EGFH是平行四边形,
所以EF和GH互相平分.7.已知,如图,在△ABC中,CF平分∠ACB,CA=CD,
AE=EB,求证:EF= BD.
【证明】∵CA=CD,
CF平分∠ACB,∴AF=DF,
∵AE=EB,∴EF为△ABD的中位线,∴EF= BD.题组二:三角形中位线定理的实际应用
1.如图所示,吴伯伯家一块等边三角形的空
地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中点,量
得EF=5m,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈
放养小鸡,则需要篱笆的长是　(　　)
A.15m B.20m
C.25m D.30m【解析】选C.∵点E,F分别是边AB,AC的中点,EF=5m,∴BC=2EF=10m,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,
∴BE=CF= BC=5m,
∴篱笆的长为BE+BC+CF+EF
=5+10+5+5=25(m).2.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果
把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑
色大理石(图中阴影部分).其余部分铺上
白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是
( )【解析】选C.如图,∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DF=BE=EC,EF=AD=BD,DE=AF=FC,
∴△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED,
∴S△BDE=S△DAF=S△EFC=S△FED.
∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1∶3.
故选C.3.如图是跷跷板示意图,横板AB绕中点O上下
转动,立柱OC与地面垂直,设B点的最大高度
为h1.若将横板AB换成横板A'B',且A'B'=
2AB,O仍为A'B'的中点,设B'点的最大高度为h2,则下列结论正确的是　(　　)
A.h2=2h1 B.h2=1.5h1
C.h2=h1 D.h2= h1【解析】选C.如图所示:
∵O为AB的中点,OC⊥AD,BD⊥AD,∴OC∥BD,
∴OC是△ABD的中位线,∴h1=2OC,
同理,当将横板AB换成横板A'B',且A'B'=2AB,O仍为A'B'的中点,h2=2OC,∴h1=h2.4.一天,小青在校园内发现:旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上,树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点,同时还发现她站立于树影的中点.如果小青的身高为1.65m,由此可推断出树高是　　　　m.
【解析】根据三角形的中位线定理,得树高是小青的身高的2倍,即3.3m.
答案:3.3【想一想错在哪？】在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,D为AC的中点,E为BC的中点,则DE的长为　　　　.
提示:题目中没有说明哪个角为直角,AB的值应该有两种可能.