人教A版高中数学选修4-2 第三讲 三 逆矩阵与二元一次方程组 上课课件(共28张PPT)

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在解析几何中,二元一次方程组的解的意义是什么?
直角坐标系x O y内相应的两条直线交点的坐标.
线性变换的表达式形式与二元一次方程组有很多相似的地方,能否从线性变换的角度来解释二元一次方程组的解的意义呢?
3.3 逆矩阵与二元一次方程组
二元一次方程组的矩阵形式
逆矩阵与二元一次方程组
学习重难点
用变换的观点认识解二元一次方程组的意义,会用系数矩阵的逆矩阵解系数矩阵可逆的二元一次方程组.
二元一次方程组的矩阵形式
例1
向量形式:


二元一次方程组:

①
由矩阵与向量乘法的定义得:






∴原方程组①变成:
由例1→一般情况
关于变量x,y的二元一次方程组为:
则它可以写成矩阵的形式:

矩阵A= 称为二元一次方程组②
的系数矩阵. ③式称为二元一次方程组②的矩阵形式.

②



③
探究1
二元一次方程组的系数矩阵对应着一个线性变换,试从线性变换的角度揭示解二元一次方程组的意义.
以例1为例

二元一次方程组①的系数矩阵
对应的线性变换为旋转变换:



∴解二元一次方程组①就是找到向量


使得它在该旋转变换下变为向量
举一反三
对于一般的二元一次方程组

②
以线性变换的角度看,可表述为:



线性变换

平面上一个确定的向量
已知:

要找到一个向量
使得它在ρ的作用下变为已知向量

注意
在实际操作中,若线性变换ρ的意
义不明显或不为我们所知,那么就很难
找到向量 , 使得



引入定义
二元一次方程组②的解写成向量
的形式,称这种形式的解为二元一次方程
组②的解向量.

逆矩阵与二元一次方程组
探究2
如果二元一次方程组的系数矩阵可逆,能用逆矩阵来解方程组么?
以例1为例

二元一次方程组①的系数矩阵
可逆
从线性变换的角度, 解方程组①就是找出向量




使得它在旋转变换
作用下的结果为给定的向量

即: 向量 按逆时针绕原点旋转30°
后得到向量 ;


向量 可以看成把向量 按
顺时针绕原点旋转30°后得到.


即:



∴二元一次方程组①一定有解,且解为:






∵二元一次方程组①的任意一个解向量都满足:



∴由几何上易看出:二元一次方程组①的解是唯一的.
定理
若关于变量x,y的二元一次方程组（线性

方程组）: 的系数矩阵A=
可逆，则方程组有唯一解





－1
证明：
当A= 可逆,由二元一次方

程组 的矩阵形式:

A = 得：





A－1

A

=A－1
∴
E2 =

A－1

∴原方程组有解：



－1
下证唯一性：
设 , 是原方程组的任意两个解,由
上面的证明过程可得:


A－1



A－1



∴ = ,即二元一次方程组的

解是唯一的.
推论
关于变量x,y的二元一次方程组

其中a,b,c,d是不全为零的常数,有非零解的

充要条件是系数矩阵的行列式 =0.
注意：
常数项都为零的线性方程组为齐次线

性方程组, 是其中一个解,称为零解.

若向量 （ , 不全为零 ）是该方程

组的解向量,则称之为一个非零解.


课堂练习
1.关于变量x,y的二元一次方程组

其中λ,μ为常数,求当λ和μ满足什么条件时,原方程组有非零解?
解：由推论可得:
当系数行列式 =0时,原方程
组由非零解.

即: 当2－λμ=0时,方程组有非零解.
∴λμ=2.
2.用逆矩阵解二元一次方程组

解：二元一次方程组的系数矩阵A=

则该方程组的矩阵形式：



∴系数矩阵A= 可逆



∴方程组有唯一解　　＝Ａ－１　　　　　　　　
∵Ａ－１＝　　　　＝　　　　　　　　　

－１

∴




∴原方程组的解是

3.原方程组变形为:



它有非零解的充要条件是:
即:
再见