人教A版高中数学选修4-2 第三讲 一 逆变换与逆矩阵 上课课件(共28张PPT)

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除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?

知识回顾
矩阵乘法的运算性质
结合律 (ab)c=a(bc)
交换律 ab=ba
消去律 设a≠0,若ab=a,则b=c;若
ba=ca,则b=c.

类比
实数的乘法运算中有一条重要的运
算性质：
矩阵是否有相似的性质呢？
把恒等变换I 和单位矩阵E作为数1的类比对象
3.1 逆变换与逆矩阵
知识与能力
掌握逆矩阵的概念和简单性质

教学目标
过程与方法
情感态度与价值观
通过线性变换理解逆矩阵的性质
培养学生提出问题,解决问题的能力
重点：
逆矩阵的概念与简单性质.
逆矩阵的概念;
用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.
教学重难点
难点：
探究1
对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?
对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?


O
y
x
30°

R－30°

R30°



例1 旋转变换
R30°：

R－30°：

对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量
由图可得：


有：
（R 30 °· R －30 ° ） = R30°（R－30° ）=
同理可得：R－30°· R30°= I
∴ R30°· R－30°= I
矩阵的语言表述


对于二阶矩阵 ,存在二阶矩阵


,使得




思考
一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?
探究2
对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换 I ?
答案：能！
同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?
定义
设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I ,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.
用矩阵的语言表述:
设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.
设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.
思考
是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.
答案:不是.
如A=

探究3
1.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?

2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?
以例1中的两个旋转变换为例
反证法

证明:
假设不唯一,则存在变换R30°的任意一个逆变换σ,使得σ R30° = R30° σ= I.
∴对平面上任意一个向量 有,

∴逆变换是唯一的.

性质1
设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
证明：设B1,B2都是A的逆矩阵,则
B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.
∴B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）
=B2E2=B2.
即：B1=B2.
探究4
两个可逆变换的复合变换仍可逆么?

伸缩变换ρ:

旋转变换R30°:
它们的逆矩阵分别为:


R－30°:
举例说明：
任意一个平面向量: = .

先经ρ·R30°的复合变换,再经R－30°·ρ－1,
最终仍得到
如图:




O
y
x






性质2
设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.
证明：∵(AB)(B－1A－1)
=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,
(B－1A－1) (AB)
= B－1( AA－1 )B= B－1E2B= B－1B=E2,
即:(AB)(B－1A－1)
=(B－1A－1)(AB)=E2
∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.
课堂小结
1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆.
2.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
3.A , B是二阶矩阵,若A ,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.
再见