人教A版高中数学选修4-2 第四讲 二 特征向量的应用 上课课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
我们已经学过了矩阵A与一个平面向量 .但实际问题大多可归结为研究二阶矩阵的方幂

乘以一个平面向量 ,当n很大时,直接用矩阵的乘法、矩阵与向量的乘法会很麻烦.能否找到一种简单的计算方法?
导入新课
4.2 矩阵向量的应用
了解特征向量在实际问题的应用.
教学目标
知识与技能
掌握二阶矩阵的方幂与一个平面向量的乘积的简单计算方法;
过程与方法
情感态度与价值观
让学生体会特征向量在实际问题的应用,展现矩阵的广泛应用.
通过归纳总结的方法研究二阶矩阵的方幂与一个平面向量的乘积.
教学重难点
重点
难点
特征向量在实际问题的应用.
的简单表示.
探究1

设A是一个二阶矩阵, 是任意一个平面向量,能否简捷地计算 ?能否给出它的计算公式?
简单实例
设关于x轴的反射变换σ：

与之对应的二阶矩阵A=

可求得矩阵A的特征值为


和 是分别属于特征值
的特征向量.
取向量 分别为特征向量
∴
对于任意的正整数n

n

n
设A是一个二阶矩阵, 是矩阵A的属于特征值 的任意一个特征向量,则
一般性
探究2
对反射变换σ , 为任意平面向量，能否给出 即 的表达式?
任意的平面向量 ,可找到实数 使得

……

n－1

n

性质1
设 是二阶矩阵A的两个不同的特征
值, 是矩阵A的分别属于特征值
的特征向量,对于任意的非零平面向量 ,
设 , 为实数,则对任意的
正整数n , 有
数学归纳法
证明:(1)当n=1时

∴性质1成立;
(2)假设当n = k－1时性质1成立,即:
当n=k时
∴当n=k 时,性质1成立.
特征向量在实际问题中的应用
例
在扩散理论中的应用
设某物质能以液态和气态的混合状态存在,又假设在任意一分钟内
(1)液态的5%蒸发成气态;
(2)气态的1%凝结成液态.
现在这些物质中70%是气态的.
求:1分钟以后气态物质占总物质的比例是多少?2分钟?10分钟?最终的情况如何?
利用 的简单表示解决这一类实际问题
先设 分别表示现时刻气态物质与液态物质占总物质的比例数.
分别表示n 分钟后气态物质与液态物质占总物质的比例数.
记总物质为N.
⑴ 1分钟后
气态物质：
液态物质：

即：
矩阵表示形式：



记矩阵P =



= P
矩阵P 描述了1分钟以后气态物质和液态物质的转变情况
类似上述推导过程得:





……








①

②

③
④





∴1分钟以后,气态物质占总物质的70.8%,
液态物质占总物质的29.2%.





≈
由②式得：
(2) 2分钟后
∴2分钟以后,气态物质占总物质的71.6%,
液态物质占总物质的28.4%.
(3) 10分钟后
若依③式直接计算会很麻烦,因为问题已经
转化为


利用性质1
首先求出矩阵P = 的特征值
及对应的特征向量.

特征值：
对应的一个特征向量分别为 和



设
即：



由性质1得




≈

∴10分钟以后,气态物质占总物质的76.2%,
液态物质占总物质的23.8%.
∴对任意的自然数n ,由性质1得




即最终气态物质占总物质的 ,液态物
质占总物质的 .


即：
课堂练习
1.已知矩阵A= , 向量


求：(1)A的特征值;
(2)
解: 矩阵A的特征多项式:
令 , 得特征值为
(2) 对于特征值 得相应的线性方程组


得一非零解：
是矩阵属于特征值 的一个特征向量.

同理：

是矩阵属于特征值 的一个特征向量.




解得：
由性质1得



再见