人教A版高中数学选修4-2 第四讲 一 变换的不变量与矩阵的特征向量 上课课件(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修4-2 第四讲 一 变换的不变量与矩阵的特征向量 上课课件(共32张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 612.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-14 21:14:00 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
在许多数学问题中都会研究“不变量” ,那么我们研究的线性变换是否也有“不变量”?
导入新课
4.1 变换的不变量——矩阵的特征向量
教学目标
知识与技能
理解矩阵的特征值与特征向量的概念;
培养矩阵的特征值与特征向量简单应用能力.
过程与方法
情感态度与价值观
通过学生自我探究,从线性变换和几何直观两个角度来研究矩阵的不变量—特征向量.
培养学生探究能力,知识的类比能力.
重点
矩阵的特征值与特征向量的概念;
矩阵的特征值与特征向量的计算.
教学重难点
矩阵的特征值与特征向量的概念
矩阵的特征值与特征向量的计算
难点
知识结构
线性变换
二阶矩阵
变换的不变量、矩阵的特征向量
特征值与特征向量的计算
特征向量的应用
探究1
1.对于线性变换,是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变?
2.是否存在向量,使得该向量在这个线性变换的作用下有某种“不变性” ?
4.1.1 特征值与特征向量
例
对于伸缩变换ρ：
研究其“不变量”
从几何直观上
只有x轴和平行于y轴的直线在ρ的作用下保持不变.
伸缩变换只把形如 ， 的向
量变为与自身共线的向量 ，
在一个线性变换的作用下，确实有一些向量具有“不变性”——变成了与自身共线的向量,即变为原来向量的某个倍数.
定义
设矩阵 ,若存在数 以及非零
向量 , 使得 ,则称 是矩阵 的一个特征值, 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量.
从线性变换上
记矩阵A的线性变换为σ： =A
从几何直观上
是矩阵A的属于特征值 的一个特征向量, 即：
等式 表示线性变换σ把特征向量 变为共线的向量
Ⅰ.当 时,向量 与特征向量 同向;
Ⅱ.当 时,向量 与特征向量 反向;
Ⅲ. 当 时,所得向量为零向量.
思考
矩阵A的属于特征值λ的特征向量有几个呢?
考察例题
以λ=1为例
∵ 是矩阵A的属于特征值λ=1的
特征向量
∴
∵
(其中k1∈R,但k1≠0)
∴形如 的向量都是矩阵 的特征
向量.
即：矩阵A= 的属于特征值λ=1
的特征向量有无穷多个.
总结1
设 是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k , k 也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
证明：若k≠0,则
∵
∴
是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
从几何直观上
若 是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则与 共线的所有非零向量都是A的属于特征值λ的特征向量.
总结2
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.
探究2
是否每个二阶矩阵都有特征向量?
反例
矩阵A= 没有特征值,
没有特征向量.
请同学们从几何直观的角度进行分析!
4.1.2 特征值与特征向量的计算
探究3
对于一个二阶矩阵,能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量?
例
设A= ,求A的特征值以及属于每
个特征值的一个特征向量.
解：设数 和非零向量 满足
①
③
∴
②
若 是矩阵A的特征向量, 则 是齐
次线性方程组③的一个非零解;
若 是齐次线性方程组③的非零解，
则 满足①式,所以 是矩阵A的一个特征向量.
∴齐次线性方程组③有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即：
Ⅰ. 把 代入方程组③,得：
令y=－1,则x=2.
∴方程有非零解x=2, y=－1.
∴ 是矩阵A= 的一个特征值,
是矩阵A= 的属于 的
一个特征向量.
且满足
记
Ⅱ. 把 代入方程组③,得：
令x=1,则y=1.
∴方程有非零解x=1, y=1.
且满足
记
∴ 是矩阵A= 的一个特征值,
是矩阵A= 的属于 的
一个特征向量.
一般情况
设A= ,求A的特征值以及属于每
个特征值的一个特征向量.
请同学们先自己验证！
解：设数 和非零向量 满足
①
得齐次线性方程组：
②
若 是齐次线性方程组②的非零解,
则 满足①式,所以 是矩阵A的一个特征向量.
若 是矩阵A的特征向量, 则 是齐
次线性方程组②的一个非零解;
∴齐次线性方程组②有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即：
（其中 称为矩阵A的特征多项式,
称为矩阵A的特征方程）
记：
③
解得：
将 代入方程组②,必有相应
的非零解, 分别为 和 ,
记 ： , .
由上面过程知：
是矩阵A= 的特征值, ,
是矩阵A的分别属于 的一个特征向量.
课堂小结
1.设矩阵 ,若存在数 以及非零
向量 ,使得 ,则称 是矩阵 的一个特征值, 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量.
2. 求二阶矩阵的特征值与特征向量的步骤:
（1）写出特征多项式 ;
（2） 令 解得特征值;
（3）分别求出一个属于各个特征值的特征
向量.
课堂练习
1.矩阵M= 的特征值为
2.设二阶矩阵A由两个不同的特征值
是分别属于特征值 的任意特征向量,
证明：向量 不共线.
解： 是矩阵A的分别属于不同特征值的
假设向量 共线,因为
∴存在非零实数 ,使得
∴
特征向量,得：
即：
∴
再见
在许多数学问题中都会研究“不变量” ,那么我们研究的线性变换是否也有“不变量”?
导入新课
4.1 变换的不变量——矩阵的特征向量
教学目标
知识与技能
理解矩阵的特征值与特征向量的概念;
培养矩阵的特征值与特征向量简单应用能力.
过程与方法
情感态度与价值观
通过学生自我探究,从线性变换和几何直观两个角度来研究矩阵的不变量—特征向量.
培养学生探究能力,知识的类比能力.
重点
矩阵的特征值与特征向量的概念;
矩阵的特征值与特征向量的计算.
教学重难点
矩阵的特征值与特征向量的概念
矩阵的特征值与特征向量的计算
难点
知识结构
线性变换
二阶矩阵
变换的不变量、矩阵的特征向量
特征值与特征向量的计算
特征向量的应用
探究1
1.对于线性变换,是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变?
2.是否存在向量,使得该向量在这个线性变换的作用下有某种“不变性” ?
4.1.1 特征值与特征向量
例
对于伸缩变换ρ：
研究其“不变量”
从几何直观上
只有x轴和平行于y轴的直线在ρ的作用下保持不变.
伸缩变换只把形如 ， 的向
量变为与自身共线的向量 ，
在一个线性变换的作用下，确实有一些向量具有“不变性”——变成了与自身共线的向量,即变为原来向量的某个倍数.
定义
设矩阵 ,若存在数 以及非零
向量 , 使得 ,则称 是矩阵 的一个特征值, 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量.
从线性变换上
记矩阵A的线性变换为σ： =A
从几何直观上
是矩阵A的属于特征值 的一个特征向量, 即：
等式 表示线性变换σ把特征向量 变为共线的向量
Ⅰ.当 时,向量 与特征向量 同向;
Ⅱ.当 时,向量 与特征向量 反向;
Ⅲ. 当 时,所得向量为零向量.
思考
矩阵A的属于特征值λ的特征向量有几个呢?
考察例题
以λ=1为例
∵ 是矩阵A的属于特征值λ=1的
特征向量
∴
∵
(其中k1∈R,但k1≠0)
∴形如 的向量都是矩阵 的特征
向量.
即：矩阵A= 的属于特征值λ=1
的特征向量有无穷多个.
总结1
设 是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k , k 也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
证明：若k≠0,则
∵
∴
是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
从几何直观上
若 是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则与 共线的所有非零向量都是A的属于特征值λ的特征向量.
总结2
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.
探究2
是否每个二阶矩阵都有特征向量?
反例
矩阵A= 没有特征值,
没有特征向量.
请同学们从几何直观的角度进行分析!
4.1.2 特征值与特征向量的计算
探究3
对于一个二阶矩阵,能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量?
例
设A= ,求A的特征值以及属于每
个特征值的一个特征向量.
解：设数 和非零向量 满足
①
③
∴
②
若 是矩阵A的特征向量, 则 是齐
次线性方程组③的一个非零解;
若 是齐次线性方程组③的非零解，
则 满足①式,所以 是矩阵A的一个特征向量.
∴齐次线性方程组③有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即：
Ⅰ. 把 代入方程组③,得：
令y=－1,则x=2.
∴方程有非零解x=2, y=－1.
∴ 是矩阵A= 的一个特征值,
是矩阵A= 的属于 的
一个特征向量.
且满足
记
Ⅱ. 把 代入方程组③,得：
令x=1,则y=1.
∴方程有非零解x=1, y=1.
且满足
记
∴ 是矩阵A= 的一个特征值,
是矩阵A= 的属于 的
一个特征向量.
一般情况
设A= ,求A的特征值以及属于每
个特征值的一个特征向量.
请同学们先自己验证！
解：设数 和非零向量 满足
①
得齐次线性方程组：
②
若 是齐次线性方程组②的非零解,
则 满足①式,所以 是矩阵A的一个特征向量.
若 是矩阵A的特征向量, 则 是齐
次线性方程组②的一个非零解;
∴齐次线性方程组②有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即：
（其中 称为矩阵A的特征多项式,
称为矩阵A的特征方程）
记：
③
解得：
将 代入方程组②,必有相应
的非零解, 分别为 和 ,
记 ： , .
由上面过程知：
是矩阵A= 的特征值, ,
是矩阵A的分别属于 的一个特征向量.
课堂小结
1.设矩阵 ,若存在数 以及非零
向量 ,使得 ,则称 是矩阵 的一个特征值, 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量.
2. 求二阶矩阵的特征值与特征向量的步骤:
（1）写出特征多项式 ;
（2） 令 解得特征值;
（3）分别求出一个属于各个特征值的特征
向量.
课堂练习
1.矩阵M= 的特征值为
2.设二阶矩阵A由两个不同的特征值
是分别属于特征值 的任意特征向量,
证明：向量 不共线.
解： 是矩阵A的分别属于不同特征值的
假设向量 共线,因为
∴存在非零实数 ,使得
∴
特征向量,得：
即：
∴
再见