人教A版高中数学选修4-5 第二讲 三 反证法与放缩法 上课课件(共30张PPT)

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探究
分析
本题是证明不等式性质（6）.用通常的综合法则相当困难，我们很难直接从条件和已有的事实直接证明.正面入手不能凑效，可以从结论的反面来思考.
2.3反证法与放缩法
教学目标
知识与能力
1.了解用反证法和放缩法证明不等式的基本过程及其思想方法.
2.培养学生分析问题，解决问题的能力.
过程与方法
1.从不等式的基本性质（6）证明引入反证法说明反证法的基本思想和方法，进而引入放缩法.
2.通过例题的学习，总结反证法与放缩法的常见类型及注意问题.
情感态度与价值观
锻炼学生思维的严谨性，逻辑性
教学重难点
重点
难点
分析要用反证法与放缩法证明不等式问题的特点，理解其思想.
从不等式结论的否定推出矛盾及放缩的不等式.

证 明
总结
先假设要证的命题不成立，依次为出发点，结合已知条件，应用公里，定义，定理，性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立.我们把它叫做反证法.

例1
分析
要证的结论和条件之间的联系不明显，如果从正面证明，需要对某个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，从反面证明只要证明两个分时都小于2是不可能的即可.

证 明
因为x>0.y>0,所以1+x≥2y,且1+y ≥2x.把这两个不等式相加，
得2+x+y ≥2(x+y),从而x+y≤2.
这与已知条件x+y>2矛盾.
因此， 都不小于2是不可能
的，即原命题成立.

例2
已知a,b,c为实数，a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,
求证：a>0,b>0,c>0.
分析
要证的结论与条件之间的联系不明显，于是考虑采用反证法.
假设a,b,c不全是正数，这需要逐个讨论a,b,c不是正数的情形.但注意到条件的特点，我们只要讨论其中的一个数，其他两个数与这种情形类似.

证 明
假设a,b,c不全是正数，即其中至少有一个不是正数.不妨设a≤0.下面分a=0和a<0 两种情况讨论.
(1)如果a=0,则abc>0,与abc>0矛盾.
所以a=0不可能.
(2)如果a<0，那么由abc>0可得bc<0.
又因为a+b+c>0,所以b+c>-a.
于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,
这和已知矛盾.因此，a<0也不可能.
综上所述，a>0.
同理可证b>0,c>0.
所以原命题成立.
总结
如果不等式是某些初始命题，否定命题或唯一性命题等等，常常可以考虑用反证法证明.用反证法证明不等式时，正确地否定不等式的结论非常重要，另外还要注意观察条件，建立条件和结论的否定之间的联系，有利于找到证明的思路.

例3
分析
若把 直接同分相加则会使运算非常复杂，不易达到证明的目的.分析此式的形式特点，可以通过是党的放大或缩小，使不等式简化.

证 明
总结
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫放缩法.其关键是放，缩适当.

例4
分析
将不等式左边用 代替，得到的不等式很容易证明.所以，如果证明
那么原不等式就可以得到证明.

证 明
课堂小结
1.反证法证明不等式.
先假设要证的命题不成立，依次为出发点，结合已知条件，应用公里，定义，定理，性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立.我们把它叫做反证法.
2.放缩法证明不等式.
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫放缩法.
随堂练习
1.设x,y 为正数，且x+y=1，
用反证法证明

证 明

假设
由于x,y>0,且x+y=1,
所以
得(2x-1)2<0.这不可能.所以
2.体积为V的圆柱中，底面半径r和圆柱的高h 为多少时，其秒面积最小？
解：因为πr2h=V，
所以，圆柱的表面积S=2πr2+2πr2h
=2πr2+πrh+πrh
≥
=
当且仅当2πr2=πrh=πrh时，等号成立.
所以，当h=2r,即
其表面积最大.
再见