人教A版高中数学选修4-5 第三讲 二 一般形式的柯西不等式 上课课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
新课导入
回顾旧知
1.二维形式的柯西不等式的代数形式?
若a,b,c,d都是实数，
则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
2.二维形式的柯西不等式的向量形式？
设αβ是两个向量，则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.
从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？
思考


0
x
z



y




0
x
y



观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│ 将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当α=β共线时，即β=0.或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时，等号成立.

探究
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
3.2一般形式的柯西不等式
教学目标
知识与能力
1.掌握一般形式的柯西不等式的内容.
2.灵活应用柯西不等式.
过程与方法
1.通过二维柯西不等式推导出一般形式的柯西不等式.
2.通过例题熟悉柯西不等式的应用.
情感态度与价值观
培养学生的逻辑思维能力.
教学重难点
重点
难点
运用柯西不等式分析解决一些简单问题.
一般形式的柯西不等式的证明思路.
柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 (2)
猜 想
分 析
如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.

证 明
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立.
设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则a12+a22+…+an2>0.
因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,所以二次函数f(x)的判别式△≤0，
即4(a1b1+a2b2+…+anbn)-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式△=0，以上不等式取等号.
此时，有唯一实数x，使aix=bi(i=1,2,…,n).
若x=0，则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0，则有 ，总之，当且仅
当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.
结论
定理（一般形式的柯西不等式）
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.

例1
分析
用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.
根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)
≥(1×a1+ 1×a2+…+ 1×an)2,
所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2
即

证 明

例2
已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.
分析
上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.


证 明

例3
分析
由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题.
已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.
解：
课堂小结
1.一般形式的柯西不等式:
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.
2.一般形式的柯西不等式的应用.
对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用.
随堂练习
1.已知a,b,c,d∈R+，且a+b+c+d=1,
求证a2+b2+c2+d2≥

证 明
因为4(a2+b2+c2+d2) ≥(a.1+b.1+c.1+d.1)2
=(a+b+c+d)2=1,
所以a2+b2+c2+d2=1

证 明
再见