人教A版高中数学选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 上课课件(共41张PPT)

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探究
类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等关系.
分析
把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。
解：
展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
而(ad-bc)2≥0,
因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2
提示
上式(1)是本节课所要研究的柯西不等式.
3.1二维形式的柯西不等式
教学目标
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理解二维柯西不等式的几何意义.
3.掌握柯西不等式的应用.
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。
过程与方法
1.通过探究，从式子变形的角度证出柯西不等式，从而认识其代数形式.
2.借助平面向量，从数量积的角度推出二维柯西不等式的向量形式.从而给出几何意义。
情感态度与价值观
锻炼学生分析问题，解决问题的能力，并培养其审美观。
教学重难点
重点
难点
定理(1)和定理(2).
数形结合认识(1)与(2)两式的等价关系.
结论
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
分析
你能否证明

证 明
结论
讨论
对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。


0
x
y



设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图）
根据向量数量积的定义，有
α.β=│α││β│cos θ
用平面向量的坐标表示不等式(2)得：
所以
│α.β│=│α││β││cosθ│
因为│cosθ│≤1,
所以│ α.β │≤│ α ││ β │
结论
定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则│α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立.

探究
试从不等式(1)推导不等式(2)，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小关系吗？


0
x
y





0
x
y

.
.
结论
定理3(二维形式的三角不等式)
能用柯西不等式证明吗？

证 明

≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x22+y22
≥ x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22
=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22
=(x1-x2)2+(y1-y2)2
分析
不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：

探究
请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。

例1
分析
虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。
已知a,b为实数。
试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)

证 明
根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思
在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.

例2
分析
利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。

例3
分析
问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.

证 明
课堂小结
1.二维形式的柯西不等式的代数形式.
若a,b,c,d都是实数，
则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
2.二维形式的柯西不等式的向量形式.
设α，β是两个向量，
则│α .β│≤│α││β│,
当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立.
3.二维形式的柯西不等式的应用.
随堂练习
再见