人教A版高中数学选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 上课课件(共30张PPT)

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数学归纳法的步骤：
(1)证明当n=n0时命题成立；
(2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.
4.1用数学归纳法证明不等式
教学目标
知识与能力
会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).
过程与方法
通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.
教学重难点
重点
难点
会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
灵活运用数学归纳法.

例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…;
{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
分析
由数列的前几项猜想，从第5项起，an
证 明
(1)当n=5时，52<25，命题成立.
(2)假设n=k(k≥5)时，命题成立，
即k2<2k.
当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1由(1)(2)知，n2<2n(n N+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.

例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.

证 明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│
由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.
当n=k+1时，
│sin(k+1)θ│
=│sinkθcosθ+coskθsinθ│ ≤│sinkθcosθ│+ │coskθsinθ│
= │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│
=(k+1) │sinθ│

例3
证明贝努利不等式：
如果x是实数，且x>-1,x 0 ,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx
分析
贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳.

证 明
(1)当n=2时，由x ≠ 0得(1+x)2>1+2x,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，
即有(1+x)k>1+kx.
当n=k+1时，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx） >1+(k+1)x
所以当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)可知，贝努利不等式成立.

例4
证明：
如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
的乘积a1,a2,…,an，
那么它们的和a1+a2…+an=1.
在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.
事实上，贝努利不等式的一般形式是：

当a是实数，并且满足a>1或者a<0时，有(1+x)a ≥1+ax(x>-1);
当a是实数，并且满足a>1或者0-1).
分析
这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时，应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数.

证 明
(1)当n=1时，有a1=1，命题成立.
(2)假设当n=k时，命题成立，
即若k个正数的乘积a1a2…ak=1，
则a1+a2+…+ak≥k.当
n=k+1时，已知k+1个正数a1,a2,…,ak满足条件a1a2…ak+1=1.
若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它们都是1.其和为k+1，命题成立.
若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数.不妨设a1>1,a2<1
有归纳假设可得到：a1+a2+…+ak+ak+1 ≥k (1)
我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1 (2)
由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1. (3)
则(1)+(3)=(2).
由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0,
即a1+a2-a1a2>1.
于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知，原命题成立.
课堂小结
本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.
随堂练习
1.对任意的n N+,试比较n!与2n-1的大小，
证明你的结论.
解:对任意的n N+,有n!≥2n-1可用数学归纳法证明此结论.
(1)当n=1时，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.即k! ≥2k-1.
当n=k+1时，(k+1)!=k!(k+1) ≥2k-1(k+1) ≥2k.
所以，当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)知，命题对一切正整数成立.
2.用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n,不等式 都成立.
再见