人教A版高中数学选修4-5 第四讲 一 数学归纳法 上课课件(共31张PPT)

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探究
试证：-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n
4.1数学归纳法
教学目标
知识与能力
了解数学归纳法的原理及其使用范围
和基本步骤.
过程与方法
1.通过递推思想研究数学归纳法.
2.通过多米若骨牌游戏这个模型直观地类比抽象的数学归纳法.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.
教学重难点
重点
难点
了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤.
排序不等式的证明思路及应用.

探究
多米若骨牌是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定会导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能倒下.
你知道为什么所有骨牌都会倒下吗？
分 析
使所有骨牌都倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
其中，条件(2)事实上是一个递推关系；当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下.只要保证(1)(2)成立，那所有的骨牌一定会全部倒下.

按照上述思路证明题目会怎样？

证 明
(1)当n=1时，等式左右两边都等于-1，即这时等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1) 时等号成立，即
-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)kk
此时，
左边=-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1[2(k+1)-1]
=(-1)k[-k+2(k+1)-1]
=(-1)k+1(k+1)
=右边
所以当n=k+1时，等号成立.
由(1)(2)可证等式成立.
总结
当证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n=n0 时命题成立；
(2)假设当n=k(k N+,且k≥n0） 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.
数学归纳法
思考
你认为数学归纳法的基本思想是什么？
在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推.这两部非常重要，缺一不可.而递推是实现从有限到无限的飞越关键.

例1
证明：n3+5n(n N+)能够被6整除.
分析
这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证n=1时命题成立；第二步要明确目标，即在假设k3+5k能够被6整除的前提下证明.

证 明
(1)当n=1时，n3+5n=6显然能够被6整除，命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k3+5k能被6整除.
当n=k+1时，(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
由假设知k3+5k能被6整除，而k(k+1)是偶数，故3k(k+1)能够被6整除。
因此，当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)知，命题对一切正整数成立，即n3+5n(n N+)能够被6整除.

例2
平面上有n(n N+,n≥3)个点，其中任何三点都不在同一条直线上.过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论.
分析
可以先从有限个点的情况中，归纳出一个猜想；然后再用数学归纳法证明猜想成立.
解：
猜想过n个点(任意三点不共线)中任意两点作直线，共有 .

证 明
(1)当n=3时，命题成立.
(2)假设当n=k时命题成立,即过k个点(任意三点不共线)中任意两点作直线，这样的直线共有
当n=k+1时，共有k+1个点(任意三点不共线)，过k个点中的任一两点作直线，这样的直线共有 条，过这k个点中的任意一点与第k+1个点作直线，这样的直线共有k条.因此，过这k+1个点中任意两点作直线，这样的直线共有

所以当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知，猜想正确.
思考

结合上述证明过程，你认为数学归纳法有什么特殊作用吗？
数学归纳法实现了由有限到无限的飞跃
课堂小结
1.数学归纳法的步骤：
(1)证明当n=n0时命题成立；
(2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.
2.数学归纳法的应用.
当证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数n都成立，可以用数学归纳法.
随堂练习
1.由数学归纳证明： 1+3+5+…+(2n-1)=n2

证 明
(1)当n=1时，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.
即1+3+…+(2k-1)=k2.
当n=k+1时,
1+3+5+…+（2k-1)+(2k+1)-1=(k+1)2.
所以，当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)知，命题对一切正整数成立.
2.凸n边形有多少条对角线？
证明你的结论.
解：凸n边形有 条对角线.
下面证明这个命题.
(1)当n=3时，三角形没有对角线，命题成立.
(2)假设当n=k时，命题成立，即凸k边形有 条对角线.
当n=k+1时，凸(k+1)边形的对角线条数为
所以，当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题成立.
再见