人教A版高中数学选修4-5 第一讲 二 绝对值不等式 上课课件(共40张PPT)

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的几何意义是什么？
1.实数的a绝对值的几何意义是什么？

解 答
的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A到原点的距离（如图1）
1.
x

.
.
0

A

图1
a
b

.
.
A
B

图2
a
2. 的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离，
即线段AB的长度（如图2）
1.2 绝对值不等式
教学目标
知识与能力
1.掌握绝对值三角不等式。
2.熟练掌握绝对值不等式的解法。
过程与方法
1.通过复习绝对值不等式的几何意义，用类比思想得到绝对值三角不等式。
2.利用更为基础的不等式的解集和直接从绝对值的几何意义出发介绍了两种类型的绝对值不等式的解法。
情感态度与价值观
1.探究绝对值三角不等式，培养学生的逻辑思维能力，让学生感受数学魅力。
2.通过绝对值不等式的解法的学习，提高学生分析问题的能力
教学重难点
重点
绝对值不等式.
难点
绝对值不等式的解法.
思考

类比不等式基本性质的得出过程，可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？
从“运算”的角度考察

探究
用恰当的方法数轴上把 表示出来，你能发现它们之间的什么关系？
分ab>0和ab<0情况讨论
(1)当ab>0时，如图1，得到
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两中情况.
图1

.
.
.
.
x
0
b

.
.
.
.
x
b
0
a
a+b
a+b
a
如果a>0,b>0时，如图2-1，

x
.
.
.
.
b
0
图2-1
a+b
a
图2-2

x
.
.
.
.
0
b
a
a+b

如果a,0,b>0时，如图2-2，有
(3)当ab=0,则a=0或b=0时，容易得到：
总结
定理1
（很重要）
如果当a,b是实数，则
当且仅当ab≥0时,等号成立.

探究
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量a,b能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
其几何意义是三角形的两边之和大于第三边（如下图）。
由此可称定理1为绝对值三角不等式
(1)当向量a,b不共线时，向量a+b,a,b构成三角形.





0
y
x
a+b
a
总结
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况：
如果向量a,b方向相同时，
如果向量a,b方向相反时，
一般地，我们有
试着从代数推理的角度证明。

证 明
分类讨论
（1）当ab≥0时,
放缩法
思考

以上我们讨论了关于两个实数的绝对值不等式，根据这样的思想方法，我们可不可以讨论涉及多个实数的绝对值不等式(如定理2）？
利用定理1证明。
定理2
如果a,b,c是实数，那么│a-c│≤ │a-b│+ │b-c│ 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.

证 明
其几何意义通过数轴考虑。

点B在点A,C之间
点B不在A,C之间
根据定理1，
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.

例1

证 明

例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工区地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，首先把实际问题划归为数学问题，即归结为求解形如 的函数的极值问题，这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
即：生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,
解(x-10)(20-x)≥0,得10 ≤x ≤20.
所以，当10 ≤x ≤20.时，

探究

提示
由绝对值 的几何意义可以得到

例3
分析
可以把 (2x-1) 看成一个整体X，
即所解不等式就是
解不等式│2x-1│≤3
解：
解得-1≤x ≤2
因此，原不等式的解集
为｛x│-1≤x ≤2｝
得：-3 ≤2x-1 ≤3
思考
该题解的几何解释是什么？
将│2x-1│≤3两边除以2，得
它的解集是数轴上到坐标为 的点
的距离不大于 的点集合.

探究
如何求解│x-a│+│x-b│≥c和
│x-a│+│x-b│ ≤c型不等式？
提示
思路一：对几何意义作分析；

思路二：把含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；
思路三：从函数的观点处理。

例4
解法一：
设数轴上与-2，1对应的点分别是A,B。（如图）

.
.
.
.
.
.
x
-3
-2
-1
0
1
2
A
B
所以，原不等式的解集是(－∞, －3] ∪[2, ＋ ∞)
从数轴上可以看到，点A1和B1之间的任何点到点A,B的距离之和都小于5；点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都大于5.
解不等式：
│x-1│+│x+2│≥5
解法二：
当x ≤-2时，原不等式可以为-(x-1)-(x+2) ≥5
解得 x ≤-3.
即不等式组 的解集是 (－∞, －3]

当-2
即3 ≥5 ，矛盾。所以不等式
的解集是空集.
当x ≥1 时，原不等式可以化为 (x-1)+(x+2) ≥ 5
即不等式组 的解集是[2, +∞)

综上所述，原不等式的解集是(－∞, －3] ∪[2, ＋ ∞)
解法三：
将原不等式转化为│x-1│+│x+2│-5≥0
构造函数y= │x-1│+│x+2│-5
即
作出图像（右图）可知，当x∈(－∞, －3） ∪[2, ＋ ∞),
有y ≥0

所以，原不等式的解集是(－∞, －3] ∪[2, ＋ ∞)



.
.
.
.
.
.
.
-3
-1
2
0
-2
x
y



总结
本题介绍了三种解决这类问题的方法，其中体现的思想方法具有普遍意义。解法一体现了数形结合思想，解法二体现了分类讨论思想，解法三体现了函数与方程的思想。
课堂小结

1.绝对值三角函数的几何意义。
2.两类绝对值不等式的解法。
随堂练习
1.解不等式│x2-2x│<3
解法一：
由│x2-2x│<3得-3解得-1所以，不等式的解集是(-1,3)
解法二：
│x2-2x│<3 表示函数图像中在直线 y=-3 和直线 y=3 之间相应部分的自变量的集合.
即不等式的解集是(-1,3).
作函数y=x2-2x的图像.
解方程x2-2x=3得x1=-1,x2=3
2.求函数y=│x-4│+ │x-6│的最小值.
解： y=│x-4│+ │x-6│
= │x-4│+ │6-x│
≥ │(x-4)+(6-x)│=2
当且仅当(x-4)+(6-x) ≥0
即x ∈[4,6]时，函数y取最小值2.
再见