第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时分层训练
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或结合图形可知选C.
2．在3x＋5y<4表示的平面区域内的一个点是( )
A．(2,0) B．(－1,2)
C．(1,1) D．(－1,1)
解析：选D 将点(－1,1)代入3x＋5y<4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x＋5y<4表示的平面区域内，故选D.
3．若点(3,1)和(4，－6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－24,7) B．(7,24)
C．(－7,24) D．(－24，－7)
解析：选D 由题意知(7＋a)(24＋a)<0?－24
4．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，05．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B．
C. D．
解析：选C
平面区域如图所示．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
则|BC|＝4－＝.
所以S△ABC＝××1＝.故选C.
6．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有 个．
解析：
由题意点(x，y)的坐标应满足由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，(1,1)6个．
答案：6
7．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是 ．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
8．(2019·郑州模拟)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝ .
解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，
由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，招聘的教师最多，此时x＝a＋b＝13.
答案：13
9．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx－2y＋1<0表示的平面区域内，求k的取值范围．
解：点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，
由题意，得
即
解得－5≤k≤－3.
故k的取值范围是[－5，－3]．
10．某人准备投资1 200万元兴办一所中学，他对教育市场进行调查后，得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜．分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件．
解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30，
考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40，
另外，开设的班数不能为负且为整数，则x≥0，y≥0，x，y∈Z.
把上面的四个不等式合在一起，得到
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分中x，y为整数点)．
1．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 取原点O(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0，排除B、D；又O点满足x－2y＋2≥0，排除C.故选A.
2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．[7，＋∞)
C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞)
解析：选C 画出平面区域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形，故5≤a<7.故选C.
3．(2018·泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD，
由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.故选D.
4．若A为不等式组表示的平面区域．则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C 在坐标平面内画出不等式组所表示的平面区域可以看出是一个三角形区域(包括边界)．其中三个顶点的坐标分别是O(0,0)，C(－2,0)，B(0,2)，再画出直线x＋y＝－2与直线x＋y＝1.记直线x＋y＝1与y－x＝2，y轴的交点分别为点D，E，则点D，E(0,1)．结合图形可知，当a从－2连续变化到1时，动直线扫过A中那部分区域是四边形OCDE，因此所求区域的面积等于×2×2－×2＝.故选C.
5．已知不等式组表示的平面区域被直线2x＋y－k＝0平分成面积相等的两部分，则实数k的值为 ．
解析：画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为×1×(1＋1)＝1，可知直线2x＋y－k＝0与区域边界的交点A，B的坐标分别为及，要使直线2x＋y－k＝0把区域分成面积相等的两部分，必有××＝，解得k＝－2.
答案：－2
6．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有 个．
解析：
画出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x＋y－10＝0过点A(5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，故只有一个公共点(5,0)．
答案：1
7．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x－by＋1＞0表示的平面区域内，则b的取值范围是 ．
解析：设P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，因为点P与点P′有且只有一个适合不等式，
所以或
解得b≥－或b≤－.
答案：∪
8．已知实数x，y满足不等式组Ω：
(1)画出满足不等式组Ω的平面区域；
(2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．
解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．
(2)解方程组
得A，
解方程组
得D，
所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为
S四边形ABCD＝S△AEF－S△BCF－S△DCE＝×(2＋3)×－×(1＋2)×1－×(3－1)×＝.
课件47张PPT。3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域登高揽胜 拓界展怀课前自主学习两个 1 几个二元一次不等式 有序数对(x，y) 有序数对(x，y) 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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