第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时 利用简单的线性规划求最值
课时分层训练
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B．
C．[－1,6] D．
解析：选A 作出可行域如图所示．目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.故选A.
2．已知x，y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为( )
A. B．2
C．8 D．10
解析：选D
由约束条件作出可行域如图．A(0,1)，B(1,0)，目标函数z＝(x＋3)2＋y2表示阴影部分的点与点C(－3,0)的距离的平方．由图可知最小值为|AC|2＝32＋12＝10.故选D.
3．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
A．1 B． C．－ D．－1
解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
4．已知实数x，y满足：z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是( )
A. B．[0,5]
C．[0,5) D．
解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u＝2x－2y－1，当直线2x－2y－1－u＝0经过点A(2，－1)时，u＝5，经过点B时，u＝－，则－≤u<5，所以z＝|u|∈[0,5)，故选C.
5.已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z＝kx－y当且仅当x＝，y＝时，目标函数z取最小值，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A ∵kBC＝＝－，kAC＝＝－，∴－
6．若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为 ．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A(1,1)时，z取得最小值，最小值为z＝3－4＝－1.
答案：－1
7．若x，y满足则(x－1)2＋(y－1)2的取值范围是 ．
解析：可行域如图所示，(x－1)2＋(y－1)2表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方，根据图象可得(x－1)2＋(y－1)2的取值范围是.
答案：
8．(2018·襄阳五中月考)已知x，y满足不等式组若ax＋y≤3恒成立，则实数a的取值范围是 ．
解析：满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，
由于对满足不等式组的任意实数x，y，不等式ax＋y≤3恒成立，根据图形，可得斜率－a≥0或0>－a≥kAB＝＝－3，解得a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
9．已知z＝2y－2x＋4，其中x，y满足条件求z的最大值和最小值．
解：作出可行域如图所示．作直线l：2y－2x＝0，即y＝x，平移直线l，
当l经过点A(0,2)时，
zmax＝2×2－2×0＋4＝8；
当l经过点B(1,1)时，
zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
10．已知变量x，y满足约束条件求的最大值和最小值．
解：由约束条件作出可行域(如图所示)，A点坐标为(1,3)，目标函数z＝表示坐标是(x，y)的点与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A与O连线斜率最大为3；当直线与x轴重合时，斜率最小为0.故的最大值为3，最小值为0.
1．若x，y满足约束条件则z＝3x＋5y的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．[－8,3]
C．(－∞，9] D．[－8,9]
解析：选D 作出可行域，如图所示的阴影部分，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋z，z表示直线y＝－x＋z在y轴上的截距，截距越大，z越大．
由图可知，当z＝3x＋5y经过点A时z最小；当z＝3x＋5y经过点B时z最大，由可得B(3,0)，此时zmax＝9，由可得A(－1，－1)，此时zmin＝－8，所以z＝3x＋5y的取值范围是[－8,9]．
2．(2018·山东德州一模)已知x，y满足则z＝4x－y的最小值为( )
A．4 B．6
C．12 D．16
解析：选B 作出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线z＝4x－y经过点A(2,2)时，动直线y＝4x－z在y轴的截距最大，zmin＝4×2－2＝6，故选B.
3．设x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋(y＋2)2的最小值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B 由约束条件作出可行域如图所示．又表示区域内的点到点B(0，－2)的距离，当点(x，y)在点A(1,0)处时，()min＝，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值为5.故选B.
4．(2018·重庆一中月考)x，y满足约束条件若z＝ax－y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A．－1 B．2
C. D．2或－1
解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图．由z＝ax－y得，y＝ax－z，即直线y＝ax－z在y轴上的截距最小时z最大．①若a＝0，则y＝－z，此时，目标函数只在B处取得最大值，不满足条件；②若a＞0，则目标函数y＝ax－z的斜率k＝a＞0，要使z＝ax－y取得最大值的最优解不唯一，则直线y＝ax－z与直线x－2y－4＝0平行，此时a＝；③若a＜0，显然不满足题意，故选C.
5．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为 ．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
答案：－5
6．已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值等于 ．
解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y能和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.
答案：－1
7．(2018·云南五市联考)已知实数x，y满足不等式组则z＝的最大值是 ．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
目标函数z＝＝的几何意义是平面区域中的动点P(x，y)与定点Q(－1，－1)连线的斜率．由图知，当点P运动到点A时，z取得最大值．因为A(0,1)，所以zmax＝＝2.
答案：2
8．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4故所求a的取值范围为(－4,2)．
课件57张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时 利用简单的线
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3.3.2 简单的线性规划问题
第二课时 线性规划的实际应用
课时分层训练
1．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
解析：选C 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有
得z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．故选C.
2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
解析：选B 设投资甲项目为x万元，投资乙项目为y万元，获得利润为z万元，则z＝0.4x＋0.6y，
且作出不等式组表示的区域，如图所示，
作直线l0：0.4x＋0.6y＝0，并将l0向上平移到过A点时z取得最大值，由解得即zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，故选B.
3．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )
A．2,4 B．3,3
C．4,2 D．不确定
解析：选B 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)，即买A种用品3件，B种用品3件．故选B.
4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 800元
解析：选B 设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件
目标函数z＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4,2)时，z取得最小值2 200.
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：选B 设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．
依题意，得
z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，作出可行域如图中阴影部分，
联立
?
知z在A点取得最大值．
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为 (百万元)．
解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则
目标函数z＝3x＋6y.
由得记P(1,2)，
画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
7．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得M(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为 亩．
解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
线性约束条件为即
画出可行域，如图中阴影部分所示．
作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由得A点坐标为(30,20)．
答案：30
9．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
作直线l0：3x＋2y＝0，并将l0向上平移，x有最小值．
当过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点A(2,1)时，
∴最优解为x＝2，y＝1，
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
10．长江三峡水利枢纽工程是世界上最大的水利枢纽工程，它的建成将会极大地缓解华中和华东地区的电力紧张态势.2005年8月长江三峡电厂四台机组开始发电，每台机组日最大发电量为0.168亿度，每度电输送成本为0.32元；与三峡相近的长江葛洲坝电厂有八台发电机组，每台机组日最大发电量为0.12亿度，每度电输送成本为0.35元．随着经济的发展， 江浙地区日均电需求量至少为1.35亿度．
(1)假设你是一位电力调度总指挥，请你设计长江电力公司的两大电厂每天各机组发电输送方案；
(2)设电力调度总指挥安排三峡电厂x台机组、葛洲坝电厂y台机组发电输送到江浙地区，长江电力公司电力输送成本为z亿元，写出x，y应满足的条件以及z，x，y之间的函数关系式；
(3)假设你是长江电力总公司总经理，为使公司电力输送成本最小，每天如何安排两大电厂的机组发电输送，才能满足江浙地区用电的日均需求量．
解：(1)根据题设，设计两大电厂每天各机组发电输送方案如下：
方案
三峡(台)
葛洲坝(台)
日最大发电量(亿度)
1
4
8
1.632
2
4
7
1.512
3
4
6
1.392
4
3
8
1.464
(2)写出x，y应满足的条件为
目标函数为z＝0.32×0.168x＋0.35×0.12y.
(3)将上述四种方案中所对应的四个点(4,8)，(4,7)，(4,6)，(3,8)分别代入，可知当点为(4,6)时，即采取方案3时，输送成本最低．
1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)：
原料
药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20 kg，原料乙33 kg，那么可以获得的最大销售额为( )
A．600元 B．700元
C．800元 D．900元
解析：选D 设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，
即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．
借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.
2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：选D 设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意得
可行域如图阴影所示．
由图可知当x，y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
3．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )
A．甲7件，乙3件 B．甲9件，乙2件
C．甲4件，乙5件 D．甲2件，乙6件
解析：选D 设甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为
作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－x＋，斜率为－>－，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值．又x，y∈N，所以点A不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值，故选D.
4．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为 ( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：选C 设租A型车x轴，B型车y辆，租金为z，则
画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1 600x＋2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800，故选C.
5．某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件．制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：
则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元．
解析：设在甲厂做一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，则x∈[0,3]，y∈[0,6]，x＋y≤4，x，y∈N，组委会定做该工艺品的费用总和为z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝100(60－3x－2y)，可行域为一个直角梯形OABC内整数点(包含边界图略)，其中O(0,0)，A(3,0)，B(3,1)，C(0,4)．当直线z＝100(60－3x－2y)过点B(3,1)时费用总和取最小值为4 900元．
答案：4 900
6．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为 元．
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
解析：设租大船x只，小船y只，则
租金z＝12x＋8y，作出可行域如图：由图可知，当直线z＝12x＋8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，但x，y∈N，∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.
答案：116
7．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 元．
解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
则
目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，
当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元．
答案：4 900
8．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如下表：
产品A(件)
产品B(件)
研制成本、搭载费用之和(万元)
20
30
计划最大投资金额300万元
产品质量(千克)
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益(万元)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意
可知，约束条件为即
作出可行域如图阴影部分所示，
作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解得M(9,4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
课件36张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题
第二课时 线性规划的实际应用登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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