第三章 3.4 基本不等式：≤
第一课时 基本不等式
课时分层训练
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s解析：选A ∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.故选A.
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C ∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．故选C.
3．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C A中x＝时，不等式不成立；B中sin x不总大于0；D中x＝0时，不等式不成立．故选C.
4．下列各式中，对任意实数x都成立的一个式子是( )
A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2x
C.≤1 D．x＋≥2
解析：选C 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；对于C，x2＋1≥1，∴≤1恒成立．故选C.
5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是 ( )
A.＋<1 B．＋≥1
C.＋<2 D．＋≥2
解析：选B 因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.故选B.
6．下列不等式：①a2＋1>2a；②x2＋≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确命题的序号是 ．
解析：由基本不等式可知②④正确．
答案：②④
7．已知a>1，b>1，则logab＋logba (填“≥”“＝”或“≤”)2.
解析：∵a>1，b>1，
∴logab>0，logba>0，
∴logab＋logba＝logab＋≥2.
答案：≥
8．已知a>b>c，则与的大小关系是 ．
解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴＝≥.
答案：≤
9．已知a，b是正数，求证：≤.
证明：∵a>0，b>0.
∴＋≥2>0，
∴≤＝.
即≤(当且仅当a＝b时取“＝”)．
10．已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小．
解：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以≥(a＋b)，
同理 ≥(b＋c), ≥(c＋a)，
所以 ＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，
即 ＋＋≥ (a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
解析：选A ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．故选A.
2．(2019·河南实验中学质量预测)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D．
解析：选B 由a>0，b>0，是3a与3b的等比中项，可得()2＝3a3b＝3a＋b?31＝3a＋b?1＝a＋b，则＋＝1·＝(a＋b)·＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，取等号的条件是＝，即a＝b＝，故选B.
3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
A.> B．<
C.＝ D．≤
解析：选A 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>.故选A.
4．已知实数a，b，c满足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正负不确定
解析：选B 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，
所以a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)，
所以＋＋＝－＋＋，
因为b<0，c<0，所以b＋c≤－2，
所以－≤，又＋≤－2，
所以－＋＋≤－2＝－<0，故选B.
5．已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为 ．
解析：令logab＝t，又a>b>1得0答案：3
6．设a，b是正实数，且a＋b＝4，则不正确的有 ．
①≥ ②＋≥1 ③≥2 ④≥
解析：由a>0，b>0，且a＋b＝4得2≤4?≤2，≥，＋＝≥1.
又由≤＝，即≤.
由此可知①③④都不正确，只有②正确．
答案：①③④
7．若正实数x，y满足x＋y＝1，且t＝2＋x－，则当t取最大值时，x的值为 ．
解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，
所以t＝2＋x－＝2＋1－y－≤3－2＝2，当且仅当y＝，即y＝时取等号，此时t取得最大值，所以x＝1－y＝.
答案：
8．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c.
证明：a，b，c∈R＋.
要证lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c
只需证lg>lg(abc)
即证··>abc.
因为≥>0，≥>0，≥>0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以··>abc成立，从而原不等式成立．
课件38张PPT。
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第二课时 利用基本不等式求最值
课时分层训练
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜1)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－3 D．最小值为－3
解析：选C ∵x＜1，∴x－1＜0，∴f(x)＝
－－1≤－2－1＝－3，
∴f(x)有最大值－3.故选C.
2．函数y＝3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．－3
C．6 D．6－3
解析：选D y＝3＝3x2＋1＋－1≥3(2－1)＝6－3，当且仅当x2＋1＝时等号成立．
3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小
值是( )
A．3 B．4
C. D．
解析：选B 依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值是4.故选B.
4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C 因为＋＝，所以a>0，b>0，
由＝＋≥2＝2，
得ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.故选C.
5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
解析：选C ∵a＋b＝2，∴1＝，4＝2(a＋b)．
∴＋＝＋＝＋＋＋2＝＋＋≥＋2＝.故选C.
6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为 ．
解析：∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.
答案：4
7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是 ．
解析：由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或t≥3，故xy的最小值为18.当且仅当2x＝y＝6时等号成立．
答案：18
8．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为 ．
解析：x＋≥a恒成立?min≥a，
∵x>1，即x－1>0，
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
∴a≤3，即a的最大值为3.
答案：3
9．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．
解：x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋
≥a＋b＋2＝(＋)2，
∴(＋)2＝18，
又∵a＋b＝10，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
10．已知x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0.
(1)当x，y分别为何值时，xy取得最小值？
(2)当x，y分别为何值时，x＋y取得最小值？
解：(1)∵x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0，
∴xy＝x＋8y≥4，当且仅当x＝8y，即x＝16，y＝2时取等号，
∴xy≥32.
∴xy的最小值为32.
(2)∵x＋8y－xy＝0，∴＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝9＋＋≥9＋4，当且仅当＝，即y＝1＋2，x＝8＋2时取等号．
因此x＋y的最小值为9＋4.
1．y＝(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B．
C．3 D．
解析：选B 解法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．
解法二：＝ ≤，当且仅当a＝－时等号成立．故选B.
2．已知x，y为正实数，则＋的最小值为( )
A. B．
C. D．3
解析：选D 由题意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2－1＝4－1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立)．故选D.
3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
解析：选B 因为(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.
4．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C 由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得2x·8y＝2，即2x＋3y＝21，
∴x＋3y＝1，∴＋＝(x＋3y)＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.
当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．故选C.
5．设a>0，b>0，若3是3a和3b的等比中项，则＋的最小值为 ．
解析：因为3a·3b＝9，所以a＋b＝2，
所以＋＝(a＋b)＝1＋≥1＋×2＝2，
当且仅当＝，即a＝b＝1时“＝”成立．
答案：2
6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的值为 ．
解析：∵a>0，∴(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.
答案：4
7．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是 ．
解析：x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，
∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.
∴(x＋y)2≤1.
∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．
答案：
8．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5 m的简易房，房的前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧墙用2.5 m高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5 m．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32 000元以内．
(1)设房前面墙的长为x(m)，两侧墙的长为y(m)，建造一套房所需材料费为P(元)，试用x，y表示P；
(2)试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
解：(1)依题意，P＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，
即P＝900x＋400y＋200xy.
(2)∵S＝xy，∴P＝900x＋400y＋200xy≥2＋200S＝200S＋1 200，
又因为P≤32 000，所以200S＋1 200≤32 000，
解得0<≤10，
∴0∴每套简易房面积S的最大值是100 m2，当S最大时前面墙的长度为 m.
课件48张PPT。
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