章末质量检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则x－y的值为( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．符号不确定
解析：选A 由a＜0，ay＞0可知，y＜0，从而由x＋y＞0可知，x＞0，故x－y＞0，故选A.
2．(2018·厦门一中检测)设0
A．aC．a<解析：选B 因为00，故b>；由基本不等式知>，综上所述，a<<3．不等式(1＋x)(1－x)>0的解集是( )
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<1且x≠－1}
解析：选A ∵原式可化为(x＋1)(x－1)<0，
∴－14．(2019·南昌市重点中学段考试题)记不等式组的解集为D，若任意(x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，6] D．(－∞，8]
解析：选C
不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝2x＋y，作出2x＋y＝0并平移经过平面区域，则当直线经过A(1,4)时，z取最小值，最小值为2×1＋4＝6，则a≤6，故选C.
5．(2019·南昌调研)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B．a2＋b2>2ab
C.＋≥2 D．≥2
解析：选D 对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2不成立；
对于B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；
对于C，当a，b异号时，＋≥2不成立；
对于D，因为，同号，所以＝＋≥2＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即≥2恒成立．故选D.
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4
C．1 D．2
解析：选A 解法一：将z＝y－2x化为y＝2x＋z，作出可行域和直线y＝2x(如图所示)，当直线y＝2x＋z向右下方平移时，直线y＝2x＋z在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y＝2x＋z经过点A(5,3)时，z取得最小值3－10＝－7.
解法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分别代入z＝y－2x，得z的值为1，－4，－7，故z的最小值为－7.故选A.
7．(2018·成都一诊)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D ∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.
∴＋＝＝≥×2＝×2＝1，当且仅当x＝y＝2时取“＝”．
8．(2019·山东名校调研)若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.故选D.
9．(2019·沈阳质量监测)实数x，y满足则z＝|x－y|的最大值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m＝y－x，则m为直线l：y＝x＋m在y轴上的截距，由图知在点A(2,6)处m取最大值4，在C(2,0)处取最小值－2，所以m∈[－2,4]，所以z的最大值是4，故选B.
10．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，
解得12所以每件销售价应为12元到16元之间．
11．(2018·武昌区调研)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：选B 根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：
可知可行域为开口向上的V字形．在顶点处z有最小值，顶点为，则＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图2，
虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．故选B.
12．(2018·汕头模拟)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选A 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0化为8≥0，其对任意的x∈R恒成立；当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能恒成立；当k>0时，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，对于方程kx2－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k2－4(k2＋8k)≤0，得0二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝ .
解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.
答案：36
14．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为 ．
解析：依题意知，解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2答案：(－2,3)
15．(2019·邯郸质检)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，则＋的最小值为 ．
解析：2x－3＝y＝2－y，∴x－3＝－y，∴x＋y＝3.
又x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝(x＋y)＝≥＝3当且仅当＝，即y＝2x时取等号．
答案：3
16．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
解析：不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a<0，∴0答案：(0,8)
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式组可化为即0(2)原不等式等价于
即
所以
所以－3即不等式的解集为{x|－318．(12分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．
所以＋＋<＋＋.
19．(12分)已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，
得
(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
∴3xy－2－1≥0，
即3()2－2－1≥0，
∴(3＋1)(－1)≥0，
∴≥1，∴xy≥1.
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
∴xy的最小值为1.
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤32，
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
∴x＋y≥2.
当且仅当x＝y＝1时取等号，
∴x＋y的最小值为2.
20．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)当a＝时，有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝，
∴当>a，即0当1时，不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．
21．(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问：投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．
由题意知，
目标函数z＝x＋0.5y.
作出可行域，如图中阴影部分所示．
作直线l0：x＋0.5y＝0.
由图可知，当直线l0平移至经过可行域上的点M时，z最大．
解方程组
得点M坐标为(4,6)．
所以zmax＝4＋0.5×6＝7(万元)，
即投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元，才能使可能的盈利最大．
22．(12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
课件38张PPT。
章末复习与总结