章末质量检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是( )
A. B．
C. D．
解析：选C 由正弦定理得＝，
所以＝.故选C.
2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( )
A．76 B．2
C．27 D．2
解析：选B 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝76，所以b＝2.故选B.
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C.
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝( )
A．± B．
C．－ D．
解析：选A 因为＝，所以＝，解得sin B＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.故选A.
5．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
解析：选C ∵＝，∴acos B＝bsin A，
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A.
又2Rsin A≠0，∴cos B＝sin B，∴B＝45°.
同理C＝45°，故A＝90°.故选C.
6．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B．8
C. D．
解析：选C ∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.故选C.
7．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )
A. B．
C. D．
解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，∴S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.故选B.
8．在△ABC中，若acos2＋ccos2＝b，那么a，b，c的关系是( )
A．a＋b＝2c B．a＋c＝2b
C．b＋c＝2a D．a＝b＝c
解析：选B 由题意，得cos2＝，cos2＝，代入已知等式，得a＋c＋acos C＋ccos A＝3b，∴a＋c＋a·＋c·＝3b，整理得a＋c＝2b.故选B.
9．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 km B．2sin 10° km
C．2cos 10° km D．cos 20° km
解析：选C 如图所示，
∵∠ABC＝20°，AB＝1 km，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理＝，∴AD＝AB·＝＝2cos 10°(km)．故选C.
10．在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
解析：选B 由2acos B＝c?2a·＝c?a2＝b2，所以a＝b.因为sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，所以2sin Asin B(2－cos C)－2＋1－2sin2＝0，
所以2sin Asin B(2－cos C)－2＋cos C＝0，
所以(2－cos C)(2sin Asin B－1)＝0，
因为cos C≠2，所以sin Asin B＝，
因为a＝b，所以sin2A＝，所以A＝B＝，
所以△ABC是等腰直角三角形，故选B.
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A.小时 B．1小时
C.小时 D．2小时
解析：选B 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．故选B.
12．空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是( )
A.米 B．米
C．266米 D．266米
解析：选B 如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，设CD＝x米，依题意知，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，则AD＝x米，BD＝米．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即2662＝x2＋(x)2－2x·(x)·cos 150°＝7x2，解得x＝，故测量时气球到地面的距离是米．故选B.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，已知cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝ .
解析：在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝.
∵cos B＝>0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
由正弦定理知＝，
∴c＝＝＝.
答案：
14．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为 km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7.
则A，C两地的距离为7 km.
答案：7
15．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝ .
解析：S△ABC＝·|AB|·|AC|·sin A，
即＝·|AB|·|AC|·，
所以|AB|·|AC|＝4，
于是·＝||·||·cos A＝4×＝2.
答案：2
16．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 ．
解析：根据正弦定理，得
sin C＝＝sin 30°＝.
∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝；
当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×sin 30°＝.
答案：或
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.
证明：∵左边＝b2(1－2sin2A)－a2(1－2sin2B)
＝b2－a2－2(b2sin2A－a2sin2B)，
由正弦定理＝，得bsin A＝asin B，
∴b2sin2A－a2sin2B＝0，∴左边＝b2－a2＝右边，
∴b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.
18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且2sin2＝sin C＋＋1.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝2，c＝2，求b.
解：(1)∵2sin2－(sin C＋＋1)＝0，
∴2cos2－(sin C＋＋1)＝0.
即2·－(sin C＋＋1)＝0，
即cos C－sin C＝1，cos＝.
∵C为△ABC的内角，
∴0从而C＋＝，∴C＝.
(2)∵a＝2，c＝2，
∴由余弦定理得 ＝2，
即b2－6b＋8＝0，
解得b＝2或b＝4.
19．(12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B处望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，在C处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
解：
如图所示，在△ABC中，
依题意得BC＝20(海里)，
∠ABC＝90°－75°＝15°，
∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
由正弦定理，得＝，
所以AC＝＝10(－)(海里)．
故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°＝10(－)×＝(15－5)(海里)．
因为15－5>8，所以货轮无触礁危险．
20．(12分)如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面墙的夹角为60°(即C＝60°且两面墙的长度足够大)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米)，记∠ABC＝θ.当θ＝105°时，求所建造的三角形露天活动室的面积．
解：在△ABC中，
＝＝.
化简得AC＝4sin θ(米)，BC＝4sin(θ＋60°)(米)．
当θ＝105°时，
AC＝4sin θ＝4sin 105°＝4cos 15°(米)，
BC＝4sin(θ＋60°)＝4sin 165°＝4sin 15°(米)．
所以S△ABC＝AC·BC·sin 60°＝3(平方米)．
21．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.
求：(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解：(1)由·＝2，得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B．
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
22．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，
所以－cos 2B＝sin2C.①
又由A＝，即B＋C＝，得
－cos 2B＝－cos2＝－cos＝
sin 2C＝2sin Ccos C，②
由①②解得tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得
sin C＝，cos C＝.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin＝sincos C＋cos sin C，
所以sin B＝.
由正弦定理得c＝，
又因为A＝，由S△ABC＝bcsin A＝3，
所以bc＝6，故b＝3.
课件22张PPT。 章末复习与总结
