第一章 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
课时分层训练
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为 ( )
A．A>B B．A
C．A≥B D．A，B的大小关系不确定
解析：选A ∵sin A>sin B，∴2Rsin A>2Rsin B，即a>b，故A>B.故选A.
2．在△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
解析：选B 因为b＝30，c＝15，C＝26°，所以b>c>bsin C，故此三角形有两解．故选B.
3．在△ABC中，＝，则A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B ∵＝，又＝，
∴＝，
∴sin A＝cos A，tan A＝1.
又0°∴A＝45°.故选B.
4．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．2∶5∶6 B．6∶5∶2
C．6∶2∶5 D．不确定
解析：选A 由正弦定理，知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶5∶6.故选A.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2＝b＋c，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 依题意及正弦定理，得sin C(1＋cos A)＝sin B＋sin C，即sin Ccos A－sin B＝sin Ccos A－sin(A＋C)＝－cos Csin A＝0，所以cos C＝0，因此C＝90°，所以△ABC是直角三角形．故选B.
6．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝ .
解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝，
由正弦定理，＝，即＝.
∴sin A＝.
答案：
7．在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝ .
解析：由正弦定理得＝，
所以AB＝·BC＝2BC＝2.
答案：2
8．在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝ .
解析：由正弦定理知＝，
又a＝14，b＝7，B＝60°，
∴sin A＝＝＝，
∵a∴C＝180°－(B＋A)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
答案：75°
9．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝4，
由＝，得c＝＝＝4(＋1)．
10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin B·cos C，试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理，得
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2＝2＋2，
即a2＝b2＋c2，故A＝90°，
∴C＝90°－B，cos C＝sin B．
∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1.
∴sin B＝.
∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°>180°，故舍去)，
∴△ABC是等腰直角三角形．
1．在△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选B ∵asin B＝，∴asin B∴符合条件的三角形有2个．故选B.
2．已知锐角△ABC的面积为，BC＝，CA＝，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
解析：选B 由S△ABC＝＝BC·CA·sin C＝××sin C，得sin C＝，又C为锐角，故C＝60°.
3．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )
A. B．
C. D．2
解析：选B 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.故选B.
4．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝( )
A. B．2
C．4 D．2
解析：选C 根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，
∵△ABC的周长为4(＋1)，
∴解得a＝4.故选C.
5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝ .
解析：因为＝，所以＝，
所以b＝a， ①
又因为a＋b＝12， ②
由①②可知a＝12(3－)．
答案：12(3－)
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝ .
解析：由正弦定理＝＝2R，
得a＝，sin B＝，
∵a>b，∴A>B，∴B＝，C＝，
∴S△ABC＝××1＝.
答案：
7．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值为 ，边长AC的取值范围为 ．
解析：∵△ABC是锐角三角形且B＝2A，
则有
∴∴＝，∴＝2，
故AC＝2cos A，A∈，
∴答案：2 (，)
8．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝2acosB．
(1)求B；
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解：(1)由正弦定理，得sin B＝2sin Acos B．
∵cos B≠0，即tan B＝2sin A＝1，∴B＝.
(2)由(1)知，在△ABC中，C＝π－(A＋B)＝.
由a＝2，得b＝2×2×cos ＝2.
所以△ABC的面积S＝absin C＝×2×2×＝＋1.
课件45张PPT。第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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