第一章 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
课时分层训练
1．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C等于( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
解析：选B 由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcos C，∴a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C＋ab，即cos C＝，∴C＝45°.故选B.
2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：选C 由正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7.
设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，由于c>b>a，故C是△ABC中最大的角，
因为cos C＝＝＝－<0.
所以C>90°，即△ABC为钝角三角形．
3．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A. B．
C．3 D．4
解析：选A 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×cos 60°＝1＋4－2×1×2×＝3，
∴c＝.故选A.
4．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B 由余弦定理的推论，得
cos B＝＝＝，
∵0°
∴A＋C＝180°－60°＝120°.
5．在△ABC中，cos2＝，则△ABC是( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B ∵cos2＝，∴＝，
∴cos B＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．故选B.
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝ .
解析：由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
答案：4
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝ .
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝
a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
8．在△ABC中，若a＝2，b＝3，C＝60°，则sin A＝ .
解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝7，∴c＝.由正弦定理，得sin A＝＝＝.
答案：
9．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状．
解：解法一：利用边的关系来判断．
由正弦定理，得＝.
又因为2cos Asin B＝sin C，
所以cos A＝＝.
由余弦定理，得cos A＝，
所以＝，即c2＝b2＋c2－a2，
所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab.所以4b2－c2＝3b2，
所以b＝c，所以a＝b＝c.
因此△ABC为等边三角形．
解法二：利用角的关系来判定．
因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B)．
又因为2cos Asin B＝sin C，
所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin(A－B)＝0.
因为A，B均为三角形的内角，所以A＝B.
又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝＝.
因为0°因此△ABC为等边三角形．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos＝.
(1)求cos B的值；
(2)若a＝3，b＝2，求c的值．
解：(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以cos＝cos＝sin ＝，
所以cos B＝1－2sin2＝.
(2)因为a＝3，b＝2，cos B＝，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得c2－2c＋1＝0，解得c＝1.
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为( )
A. B．
C. D．3
解析：选B 由余弦定理，可得cos A＝＝＝，所以sin A＝.则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝，故选B.
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cos A＝＝＝－.故选C.
3．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60°
C．75° D．90°
解析：选C 由题意可知c则a＝(＋1)x，
∴cos B＝，
即＝，
∴b2＝6x2，
∴cos C＝＝＝，
∴C＝45°，
∴A＝180°－60°－45°＝75°.故选C.
4．在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1C.解析：选C 若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，
∴a<；若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，
∴a>，故5．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝ .
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，
∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(舍去)，∴a＝1.
答案：1
6．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋cacos B＋abcos C的值为 ．
解析：由余弦定理，得bccos A＋cacos B＋abcos C＝bc·＋ac·＋ab·＝＝.
答案：
7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为 ．
解析：在△ABC中，由已知条件，得
cos A＝＝＝.
设AC边上的中线BD长为x，
由余弦定理，得
x2＝AD2＋AB2－2×AD×ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，
解得x＝7，所以所求中线长为7.
答案：7
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝.
(1)若2sin B＋2sin(A－C)＝，求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为2，c＝2，求△ABC的周长．
解：(1)∵2sin B＋2sin(A－C)＝.
∴2sin(A＋C)＋2sin(A－C)＝，
即4sin Acos C＝.
∵C＝，∴sin A＝，
∴A＝或A＝(舍去)．
(2)由题意，得S△ABC＝absin C＝2，∴ab＝8.
由余弦定理，得12＝a2＋b2－2ab×，
∴a2＋b2＝20.
由得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝36，则a＋b＝6.
所以△ABC的周长为6＋2.
课件50张PPT。第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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