第一章 1.2 应用举例
第一课时 距离问题
课时分层训练
1．如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，要求计算时最简便，测量时最容易，应当采用的一组是( )
A．a，b，γ B．a，b，α
C．a，b，β D．α，β，a
解析：选A 根据实际情况α，β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长．故选A.
2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为( )
A. B．2
C.或2 D．3
解析：选C
如图所示，设此人从A出发，
则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，
由余弦定理，得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，
整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.
3.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12米 B．8米
C．3米 D．4米
解析：选D △ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2×4×4×＝48，∴AB＝4米．
4．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是( )
A．a km B．a km
C.a km D．2a km
解析：选C
如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×＝3a2，
∴AB＝a(km)，
即灯塔A与灯塔B的距离为a km.
5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )
A．5 n mile B．5 n mile
C．10 n mile D．10 n mile
解析：选C 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n mile/h)．故选C.
6．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为 km.
解析：
如图所示，在△ACD中，
∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝(km)．
在△BCD中，
∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
∴由正弦定理，得BC＝＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝()2＋2－2××cos 75°＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.
答案：
7．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m.
解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m.
答案：
8．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 海里/时．
解析：由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，∠N＝45°，
由正弦定理＝，
得MN＝68××＝34，
∴速度v＝＝(海里/时)．
答案：
9.如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
解：在△ACD中，∠CAD＝60°，
由正弦定理知AD＝＝CD.
在△BCD中，∠CBD＝135°，由正弦定理得，BD＝＝CD，
在△ABD中，∠ADB＝90°.则AB＝＝
CD＝1 000(m)．
10.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？
解：在△BCD中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝21 km，由余弦定理得
cos ∠BDC＝＝＝－.
∴cos ∠ADC＝，
∴sin ∠ADC＝＝.
在△ACD中，由条件知CD＝21 km，∠BAC＝20°＋40°＝60°，
∴sin ∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)
＝×＋×＝.
由正弦定理得＝，
∴AD＝×＝15(km)．
故这时此车距离A城15 km.
1．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300 m和500 m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为( )
A．500 m B．600 m
C．700 m D．800 m
解析：选C根据题意画出图形如图．
在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，
由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°
＝3002＋5002－2×300×500×
＝490 000，∴AB＝700(m)．故选C.
2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为( )
A. km B． km
C．1.5 km D．2 km
解析：选A 根据余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，
∴AB＝
＝＝(km)．故选A.
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：选A如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin 30°＝10.故选A.
4.要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽为(精确到1 m)( )
A．170 m B．98 m
C．95 m D．86 m
解析：选C 在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝＝40.设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，
∴h＝BC·sin ∠CBA＝40×sin 75°≈95(m)．故选C.
5.如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，在B处观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C处，观测灯塔A的方位角为65°，则货轮到达C处时与灯塔A的距离是 km(精确到1 km)．
解析：依题意，知∠ABC＝30°，C＝105°，BC＝40×＝20，∴A＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理＝，得＝，
解得AC＝10 ≈14(km)．
故货轮到达C处时与灯塔A的距离约为14 km.
答案：14
6．一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为 n mile.
解析：由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，
∴∠BPA＝15°，
由正弦定理得＝，
∴BP＝＝＝20(＋)(n mile)．
答案：20(＋)
7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于 m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
解析：根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60(m)．
答案：60
8.如图所示，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离．(计算结果精确到0.01 km.参考数据：≈1.414，≈2.449)
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.
又因为∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，
所以BD＝BA.
在△ABC中，＝，
其中∠ABC＝75°－60°＝15°，
即AB＝＝.
因此BD＝≈0.33(km)．
故B，D间的距离约为0.33 km.
