第二章 2.1 数列的概念与
简单表示法
第一课时 数列的概念与简单表示法
课时分层训练
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是( )
A．① B．①②
C．③④ D．②④
解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.
2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选A an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.
3．数列{an}：－，3，－3，9，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n(n∈N*)
B．an＝(－1)n(n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
解析：选B 把前四项统一形式为－，，－，，可知它的一个通项公式为an＝(－1)n.故选B.
4．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 易知，数列的通项公式为(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5×＝－.故选D.
5．一个无穷数列的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是( )
A．an＝n B．an＝n3－6n2＋12n－6
C．an＝n2－n＋1 D．an＝
解析：选C 根据题意，依次分析选项：对于A.若an＝n，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B.若an＝n3－6n2＋12n－6，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于C.an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D.an＝，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选C.
6．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第 项．
解析：令＝－3，即－＝－3，∴n＝9.
答案：9
7．323是数列{n(n＋2)}的第 项．
解析：由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}中的第17项．
答案：17
8．已知数列{an}：2，－6,12，－20,30，－42，…，写出该数列的一个通项公式为 ．
解析：根据题意，数列{an}：2，－6,12，－20,30，－42，…，
则a1＝(－1)2×1×2＝2，a2＝(－1)3×2×3＝－6，a3＝(－1)4×3×4＝12，…，
归纳可得，an＝(－1)n＋1×n(n＋1)．
答案：an＝(－1)n＋1×n(n＋1)
9．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1 111，….
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式为an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
10．已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)写出该数列的第4项和第7项；
(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．
解：(1)由通项公式an＝可得
a4＝＝，a7＝＝.
(2)令＝，得n2＝9，
所以n＝3(n＝－3舍去)，
故是该数列中的项，并且是第3项；
令＝，得n2＝，所以n＝±，
由于±都不是正整数，
因此不是数列中的项．
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选A an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．故选A.
2．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于( )
A. B．
C. D．
解析：选B an·an＋1·an＋2＝··＝.故选B.
3．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A. B．5
C．6 D．
解析：选B a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.故选B.
4．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为( )
A．3n－1 B．3n
C．3n＋1 D．3(n＋1)
解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；…，可以发现，第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(根)．故选C.
5．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第 项．
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，∴an＝.
由＝2?3n－1＝20?n＝7，
∴2是该数列的第7项．
答案：7
6．已知数列{an}的前四项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为 ．
解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2,1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
7．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝ .
解析：＝，1＝＝，＝，＝，可知：通项公式an是一个分数，分子为2n＋1，分母是n2＋1，∴这个数列的一个通项公式是an＝.
答案：
8．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1－an＝，试写出该数列的前4项，并归纳出它的通项公式．
解：由a1＝，an＋1－an＝，得
a2＝a1＋＝＋＝，
a3＝a2＋＝＋＝，
a4＝a3＋＝＋＝，
归纳出通项公式为an＝.
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简单表示法
第二课时 数列的递推公式与通项公式
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1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于( )
A．15 B．16
C．31 D．32
解析：选C ∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.故选C.
2．已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2 007＝( )
A．x B．y
C．y－x D．－x
解析：选C 根据递推关系可得，x，y，y－x，－x，－y，x－y，这6个数值重复出现a2 007＝a334×6＋3＝a3.故选C.
3．设a∈R，数列{(n－a)2}，(n∈N＋)是递增数列，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．
解析：选D (n＋1－a)2>(n－a)2(n∈N＋)恒成立，整理得a4．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是( )
A．9 B．17
C．33 D．65
解析：选C ∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.故选C.
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝( )
A．2＋lg n B．2＋(n－1)lg n
C．2＋nlg n D．1＋n＋lg n
解析：选A 由an＋1＝an＋lg?an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋
lg 2＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝2＋
lg＝2＋lg n．故选A.
6．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝ .
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
7．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是 ．
解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，
∴当n＝3时，an取得最小值－9.
答案：－9
8．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2 009＝ ，a2 014＝ .
解析：a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0.
答案：1 0
9．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
解：∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0.
∴an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n.
10．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0(n∈N*)，求通项公式an.
解：由(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0，
得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋2)an＋1－nan＝0，∴＝，
∴an＝a1·····…·＝1×××××…××＝(n≥2)．
又a1＝1满足上式，∴an＝.
1．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝( )
A．0 B．－
C. D．
解析：选B 由a1＝0，可求a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－.故选B.
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为( )
A．an＝3n＋2 B．an＝3n－2
C．an＝3n－1 D．an＝3n＋1
解析：选C 因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，
所以an－an－1＝3，
an－1－an－2＝3，
an－2－an－3＝3，
…
a2－a1＝3，
以上各式相加，
则有an－a1＝(n－1)×3，
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.故选C.
3．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 016的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 016＝672×3，所以a2 016＝a3＝.故选C.
4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是( )
A．40个 B．45个
C．50个 D．55个
解析：选B 交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝，∴a9＝＝45.故选B.
5．设an＝－n2＋10n＋11，数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是 ．
解析：令an＝－n2＋10n＋11≥0，则0∴a1>0，a2>0，…，a10>0，a11＝0.
∴m＝10或11.
答案：10或11
6．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝ .
解析：由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×?＝.又∵a1＝，∴an＝.
答案：
7．如果数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ的取值范围为 ．
解析：因为{an}为递增数列，所以an＋1>an.
即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn恒成立．
∴λ>－2n－1.即λ>－3，故实数λ>－3.
答案：(－3，＋∞)
8．一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉…一直送到108名好汉的最后一名都是这样的，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？
解：设老汉上山一共带了a1匹千里马，送给宋江后还剩a2匹，则a2＝a1＋1，再送给卢俊义后还剩下a3匹，则a3＝a2＋1.依次地进行下去，送给第k个人后还剩下ak＋1＝ak＋1，按照题目要求应有a109＝a108＋1＝2.
∵a109＝2，∴a108＝2.
依次代入递推关系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.
即老汉最初上山带了两匹千里马．
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第二课时 数列的递推公式
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